1.4 Сравнение отрезков

Определения и обозначения

Сравнение отрезков — это определение того, равны ли отрезки или какой из них длиннее. Сравнивать можно наложением или по измеренным длинам. Это нужно, чтобы устанавливать отношения между геометрическими фигурами, даже если они расположены по-разному. Например, можно выяснить, равны ли две стороны фигуры.

Равные отрезки — отрезки, которые при наложении полностью совпадают. Совпасть должны и их концы, и все точки между концами. Поэтому равенство не зависит от того, где на чертеже расположен отрезок и как он направлен. Это понятие позволяет говорить о равенстве, не привязываясь к положению фигуры.

Длина отрезка — число, показывающее, сколько единичных отрезков укладывается в данном отрезке. Её записывают числом вместе с единицей измерения, например 6 см или 25 мм. Длина помогает сравнить отрезки, которые нельзя приложить друг к другу. Сам отрезок при этом остаётся геометрической фигурой, а его длина — числовой характеристикой.

Единичный отрезок — отрезок, длину которого принимают за единицу измерения. Если выбрана единица «сантиметр», длину сравнивают с отрезком в один сантиметр; если «миллиметр» — с отрезком в один миллиметр. От выбора единицы зависит числовая запись длины, но не сам отрезок. Поэтому рядом с числом длины всегда указывают единицу.

Как это устроено

Чтобы сравнить отрезки наложением, сначала совместите один конец первого отрезка с одним концом второго. Затем расположите отрезки на одной прямой и направьте их от общей точки в одну сторону. Так сравнивать удобнее, потому что расстояние между совмещёнными концами одинаковое — нулевое. Если отрезки нельзя сдвинуть, можно перенести длину одного из них на другой лист с помощью циркуля.

Если при наложении совпали не только одни концы, но и другие, отрезки полностью совпадают. Это означает, что расстояние между концами у них одинаковое, то есть длины равны. Не имеет значения, лежал ли один отрезок горизонтально, а другой наклонно: поворот не меняет его длину. Именно поэтому совпадение при наложении служит способом проверить равенство.

Когда один конец совмещён, положение второго показывает, какой отрезок длиннее. Если второй конец одного отрезка попал внутрь другого, первый отрезок короче: он заканчивается раньше. Если концы совпали, отрезки равны; если конец первого оказался дальше конца второго, первый длиннее. Такое сравнение верно, когда оба отрезка направлены от общего конца по одной прямой в одну сторону.

Если отрезки измерены и длины записаны в одной единице, сравните числовые значения. Например, 6 см больше 4 см, поэтому отрезок длиной 6 см длиннее на 2 см. Разность длин показывает, на сколько один отрезок длиннее другого. Для её нахождения из большей длины вычитают меньшую.

Числа с разными единицами нельзя сравнивать напрямую: запись 4 см и 37 мм не означает, что достаточно сравнить 4 и 37. В одном сантиметре 10 миллиметров, поэтому 4 см — это 40 мм, а уже 40 и 37 можно сравнить. После перевода видно, что 4 см больше 37 мм на 3 мм. Перевод нужен потому, что одинаковое расстояние выражается разными числами в зависимости от выбранной единицы.

Способы сравнения отрезков

Таблица подсказывает, какой способ выбрать в зависимости от того, что известно и можно ли наложить отрезки. При сравнении измеренных длин сначала проверьте единицы, а затем сравнивайте числа. Если единицы разные, выполните перевод и только после этого делайте вывод.

Разбор задач

Задача 1. Отрезки AB и CD наложили так, что A совпала с C. Точка D оказалась между A и B. Сравните отрезки. Здесь уже совмещены одни концы, поэтому нужно обратить внимание на положение оставшихся. Точка D — конец CD — находится внутри AB.

1. Сопоставим отрезки от общей точки A = C.
2. Так как D лежит между A и B, отрезок CD заканчивается раньше, чем AB.
3. Значит, длина CD меньше длины AB.

Ответ: CD < AB.

Задача 2. Длины отрезков равны 4 см и 37 мм. Какой отрезок длиннее и на сколько? Числа 4 и 37 пока нельзя сравнить: они относятся к разным единицам. Переведём сантиметры в миллиметры, чтобы сравнение было справедливым.

1. Вспомним, что 1 см = 10 мм, поэтому 4 см = 40 мм.
2. Сравним 40 мм и 37 мм: 40 мм больше.
3. Вычтем меньшую длину из большей: 40 − 37 = 3 мм.

Ответ: отрезок длиной 4 см длиннее на 3 мм.

Задача 3. На одной прямой расположены точки A, B и C, причём B находится между A и C. Длины AB и BC равны 3,6 см и 48 мм. Сравните отрезки и найдите разность их длин. Положение B между A и C показывает, что отрезки идут по одной прямой, но не определяет, какой из них длиннее. Для сравнения используем данные о длинах.

1. Переведём 3,6 см в миллиметры: 3,6 см = 36 мм.
2. Сравним длины: AB = 36 мм, BC = 48 мм, поэтому BC длиннее.
3. Найдём разность: 48 − 36 = 12 мм. Это 1,2 см.

Ответ: BC > AB; BC длиннее AB на 12 мм, или на 1,2 см.

Типичные ошибки

Нельзя считать отрезки равными только потому, что на рисунке они выглядят одинаково. Чертёж может быть приблизительным, а линии — нарисованы не в масштабе; такую ошибку легко допустить, доверившись зрению. Проверьте равенство наложением или измерением линейкой. Если рисунок и измерение дают разные впечатления, ориентируйтесь на точные данные.

При наложении недостаточно просто положить отрезки рядом: нужно совместить их концы. Если совместить разные точки или направить отрезки в разные стороны, положение оставшихся концов не даст правильного сравнения. Начните с совмещения одного конца и расположите отрезки по одной прямой в одном направлении. Перед выводом проверьте, что общая точка действительно является концом обоих отрезков.

Сравнение чисел из разных единиц — например, 4 см и 37 мм — может привести к неверному выводу. Число 37 кажется больше 4, но миллиметр меньше сантиметра, поэтому цифры сами по себе ничего не решают. Переведите обе длины в миллиметры или сантиметры и сравните полученные числа. Для проверки вспомните: 1 см = 10 мм.

Не путайте отрезок и его длину: первый является фигурой, вторая — числом с единицей измерения. Ошибка появляется, когда длину называют самим отрезком или указывают число без единицы. Проверьте запись: «отрезок AB» обозначает фигуру, а «длина AB равна 5 см» — её характеристику. Число без единицы не всегда позволяет понять, в чём измеряли отрезок.

Связь с другими темами

Для сравнения нужно знать, что такое отрезок, где находятся его концы и когда точка принадлежит отрезку. Это помогает правильно читать условия, например понимать, что значит «точка B лежит между A и C». Также понадобится измерение линейкой и перевод сантиметров в миллиметры. Сравнение отрезков пригодится при изучении равенства геометрических фигур и в задачах на длины: оно помогает находить равные стороны и разность измерений.

Что запомнить

• Равные отрезки при наложении совпадают.
• Если после совмещения одного конца второй конец одного отрезка лежит внутри другого, этот отрезок короче.
• Длину отрезка выражают числом и единицей измерения.
• Сравнивая длины, сначала приводят их к одной единице.
• Отрезки можно сравнивать наложением или по их измеренным длинам.