1.3 Прямая. Луч. Отрезок

Определения и обозначения

Прямая — бесконечная линия без начала и конца. Её можно продолжать в обе стороны, поэтому на чертеже обычно изображают только часть прямой. Прямую обозначают двумя точками, лежащими на ней: например, прямая AB проходит через точки A и B. Две точки нужны, чтобы указать, какую именно прямую мы имеем в виду.

Луч — часть прямой, у которой есть начало и которая бесконечно продолжается в одном направлении. Луч AB обозначает луч с началом в точке A, проходящий через точку B. Вторая точка показывает, в какую сторону он направлен. Такое обозначение помогает отличить этот луч от другого, выходящего из той же точки.

Отрезок — часть прямой, ограниченная двумя точками. Эти точки называют концами отрезка, а сам отрезок обозначают, например, AB. Обозначение показывает, где отрезок начинается и где заканчивается, причём оба конца входят в него. Отрезок удобен для задания конечной части прямой, длину которой можно измерить.

Как это устроено

Через любые две различные точки можно провести единственную прямую. Если бы через точки A и B проходили две разные прямые, они должны были бы расходиться, хотя обе проходят через одни и те же точки; для двух точек такое невозможно. Поэтому две точки позволяют точно задать прямую, а одна точка — нет: через неё можно провести множество прямых. На чертеже прямую называют по двум точкам, которые на ней отметили.

Выберем точку A на прямой. Она разделяет линию на две части, потому что от A можно двигаться вдоль прямой в одну или в противоположную сторону. Каждая из этих частей вместе с точкой A образует луч. Лучи имеют общее начало A, но направлены в разные стороны и не совпадают, кроме общей начальной точки.

Чтобы задать луч, недостаточно назвать только его начало: из одной точки выходят лучи во множестве направлений. Поэтому указывают ещё одну точку, которая лежит на луче и показывает нужную сторону. В обозначении AB начало — A, а точка B задаёт направление; у луча BA начало уже B, направление противоположно. Если A и B различны и лежат на одной прямой, лучи AB и BA не являются одним и тем же лучом.

Две точки A и B на прямой ограничивают часть линии между ними — отрезок AB. Точки A и B называют его концами, и они входят в отрезок: ограничение не означает, что концы нужно исключить. В отрезок также входят все точки, которые лежат между A и B. Точка за пределами концов отрезку не принадлежит, даже если находится на той же прямой.

Расположим на одной прямой точки A, B и C в таком порядке. Прямая продолжается за все три точки в обе стороны, а от каждой точки можно провести два луча, направленных в противоположные стороны. Пары точек задают отрезки AB, BC и AC; если B расположена между A и C, она принадлежит отрезку AC. Значит, на одной прямой могут одновременно находиться целая прямая, разные лучи и отрезки, ограниченные выбранными точками.

Сравнение прямой, луча и отрезка

Сначала определите, есть ли у фигуры начало и концы, затем посмотрите, в какую сторону она продолжается. При чтении обозначения луча порядок букв особенно важен: первая буква указывает начало. Для отрезка обе названные точки являются его концами.

Разбор задач

Задача 1. Отметьте точки A и B и проведите прямую AB. Сколько прямых можно провести через эти точки? Нужно выяснить, задают ли две указанные точки одну линию или несколько. Предполагается, что A и B — различные точки.

1. Отметим точки A и B на чертеже.
2. Проведём через них прямую и обозначим её AB.
3. Применим правило: через любые две различные точки проходит ровно одна прямая.

Ответ: через точки A и B можно провести одну прямую. Другую прямую, проходящую через обе эти точки, провести нельзя.

Задача 2. На прямой отмечены точки A и B. Запишите обозначения двух лучей с началом A, один из которых проходит через B, и луча с началом B, проходящего через A. Здесь важно не просто перечислить точки, а соблюдать порядок букв в обозначении каждого луча. Первая буква всегда сообщает, где находится его начало.

1. Луч с началом A, который проходит через B, обозначим AB.
2. Из точки A есть и противоположный луч. Он начинается в A, поэтому первой буквой остаётся A; обозначим его можно другой точкой прямой, например C, лежащей в противоположном направлении, — AC.
3. Луч с началом B, проходящий через A, обозначим BA: начало B записано первым, точка A задаёт направление.

Ответ: лучи с началом A — AB и AC, где C лежит с другой стороны от A; луч с началом B, проходящий через A, — BA. Одних точек A и B недостаточно, чтобы назвать противоположный луч с началом A: для обозначения нужна ещё одна точка на нём.

Задача 3. На прямой отмечены точки A, B и C в таком порядке. Назовите отрезки, концами которых являются эти точки, и укажите, какие из точек A, B, C принадлежат отрезку AC. Сначала составим все пары точек, поскольку каждая пара задаёт отрезок. Затем проверим, какая из трёх точек лежит между концами AC.

1. Составим пары: A и B, B и C, A и C.
2. Запишем соответствующие отрезки: AB, BC и AC.
3. Так как точки расположены в порядке A, B, C, точка B находится между концами A и C.
4. Проверим концы: точки A и C также входят в отрезок AC.

Ответ: отрезки — AB, BC и AC. Отрезку AC принадлежат все три точки: A, B и C.

Типичные ошибки

Ошибка — считать, что у прямой есть концы. На рисунке линия выглядит ограниченной краями листа, поэтому может показаться, что она где-то заканчивается. Но чертёж показывает лишь часть прямой, которую можно продолжать в обе стороны. Проверь себя: если утверждается, что прямая имеет начало или конец, значит, перепутано изображение и сама фигура.

Ошибка — считать лучи AB и BA одним и тем же лучом. Названия похожи и включают одни точки, но первая буква в них разная. Из-за этого начало и направление меняются: AB начинается в A, BA — в B. Для проверки назови начало каждого луча до того, как будешь сравнивать их.

Ошибка — обозначать луч одной точкой. Точка показывает возможное начало, но не направление, а из неё можно провести лучи в разные стороны. Иногда начало на рисунке очевидно, однако обозначение всё равно должно позволять понять, куда направлен луч. Проверь себя: после первой буквы должна стоять ещё одна точка, задающая направление.

Ошибка — исключать концы из отрезка. Слово «ограничен» можно ошибочно понять так, будто концы находятся снаружи. На самом деле именно концы ограничивают отрезок и входят в него вместе с точками между ними. Чтобы проверить принадлежность точки, выясни, совпадает ли она с концом или лежит между концами.

Связь с другими темами

Для работы с прямыми, лучами и отрезками нужно уметь отмечать точки и определять, лежат ли они на одной прямой. Эти знания помогают описывать фигуры на чертеже и устанавливать порядок точек. Позже лучи понадобятся для задания углов, а отрезки станут сторонами многоугольников. Понятие отрезка также необходимо при измерении и сравнении длин.

Что запомнить

• Через две различные точки проходит ровно одна прямая.
• Прямая не имеет ни начала, ни конца.
• Луч имеет начало и продолжается бесконечно в одном направлении.
• В обозначении луча первая буква указывает его начало.
• Отрезок ограничен двумя концами, и оба конца ему принадлежат.
• Точки, лежащие между концами отрезка, также принадлежат ему.