§ 2. Луч и угол

Определения и обозначения

Луч — часть прямой, состоящая из точки и всех точек этой прямой, лежащих по одну сторону от неё. Точка, от которой начинается луч, задаёт его границу и направление. Луч помогает описывать фигуры, которые продолжаются бесконечно только в одну сторону.

Начало луча — точка, принадлежащая лучу и задающая его границу. Она не отделена от луча, а входит в него. Поэтому, называя луч, мы обязательно учитываем и его начальную точку.

Угол — фигура, образованная двумя лучами с общим началом. Чтобы получить угол, достаточно, чтобы два луча выходили из одной точки: эта общая точка связывает их в одну фигуру. Угол нужен, чтобы описывать расположение двух направлений относительно друг друга.

Общее начало лучей называют вершиной угла, а сами лучи — его сторонами. Угол с вершиной O и сторонами OA и OB обозначают тремя буквами: ∠AOB, причём вершина стоит в середине. Если у вершины только один рассматриваемый угол, его иногда обозначают одной буквой вершины, например ∠O.

Как это устроено

Точка на прямой делит её на две части, потому что от неё можно двигаться вдоль прямой в двух противоположных направлениях. Каждая часть вместе с разделяющей точкой образует луч. Точка должна входить в обе получившиеся фигуры: без неё каждая часть была бы отделена от границы, которая её задаёт. Поэтому у двух лучей на одной прямой одно начало, но они направлены в разные стороны.

Для задания луча называют его начало и ещё одну точку, лежащую на луче. Начало показывает, откуда луч выходит, а вторая точка помогает определить, в какую сторону он направлен. Например, луч AB начинается в точке A и проходит через B; точка B не является его началом. Если написать только одну букву, например A, направление не будет понятно. Поэтому используют две буквы и ставят первой букву начала.

Два луча с общим началом образуют угол, потому что у них есть одна общая точка, от которой они расходятся. Эту точку называют вершиной, а лучи, образующие фигуру, — сторонами. Например, если лучи OA и OB выходят из O, то O — вершина, а OA и OB — стороны угла. Для названия фигуры достаточно указать, какие именно два луча её образуют.

В записи ∠AOB буква O стоит в середине, потому что она обозначает общую точку лучей — вершину. Буквы A и B указывают на точки, лежащие соответственно на сторонах угла. Если из O выходят несколько лучей, одной буквы O может быть недостаточно: она не покажет, какой из углов имеется в виду. Тогда записывают три буквы и выбирают по одной точке на каждой из нужных сторон.

Чтобы распознать угол на чертеже, сначала найди точку, из которой выходят две стороны. Затем проследи каждый луч от этой точки и проверь, какие направления он задаёт. Нарисованная линия может быть короткой, но сторона угла не заканчивается там, где её перестали изображать: это луч, который продолжается дальше. Поэтому стороны нельзя считать только отрезками, видимыми на рисунке.

Луч и угол: элементы и обозначения

В таблице собраны признаки, которые помогают различать фигуру и её элементы. При разборе записи сначала проверь, какая точка является началом луча или вершиной угла, затем посмотри, какие точки и лучи названы. Если у одной вершины несколько углов, выбирай обозначение из трёх букв.

Разбор задач

Задача 1. На прямой отмечены точки A и B. Назовите луч с началом A, проходящий через B, и укажите, принадлежит ли ему точка A.

1. Найти точку, от которой начинается луч. В условии это A, поэтому она должна стоять первой в обозначении.
2. Проверить, через какую точку проходит луч. Он проходит через B, значит, его обозначают AB.
3. Свериться с определением: начало входит в луч вместе со всеми точками прямой в выбранном направлении. Поэтому A принадлежит лучу AB.

Ответ: луч AB; точка A принадлежит ему.

Задача 2. Из точки O проведены лучи OA и OB. Назовите образованный угол двумя способами и укажите его вершину и стороны.

1. Определить общую точку лучей. Лучи OA и OB начинаются в O, поэтому O является вершиной угла.
2. Записать название по точкам на сторонах и вершине. Буква вершины должна находиться в середине, значит, подходит ∠AOB.
3. Поменять местами точки на сторонах, сохранив O в середине. Получится ∠BOA; обе записи обозначают тот же угол.

Ответ: ∠AOB и ∠BOA; вершина — O, стороны — лучи OA и OB.

Задача 3. Из точки O проведены лучи OA, OB и OC. Запишите обозначения всех образованных углов так, чтобы каждое обозначение однозначно указывало на нужный угол.

1. Рассмотреть пары лучей: угол образуется каждой парой с общей точкой O. Здесь возможны пары OA и OB, OB и OC, OA и OC.
2. Для каждой пары записать три буквы, поставив O в середину. Получаем ∠AOB, ∠BOC и ∠AOC.
3. Не ограничиваться буквой O: из одной вершины выходят три луча, поэтому одной буквой нельзя уточнить выбранную пару сторон. Три буквы показывают точки на нужных сторонах и общую вершину.

Ответ: ∠AOB, ∠BOC и ∠AOC.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что начало луча не принадлежит ему. Так думают, представляя луч только как часть прямой за начальной точкой. Проверка простая: вернись к определению — луч состоит из точки начала и точек по одну сторону от неё. Значит, начальная точка входит в луч.

Ошибка: называть луч одной буквой, не уточняя начало и направление. Одна точка не показывает, в какую сторону идёт луч, поэтому такое название может быть непонятным. Проверь запись: у обозначения луча должны быть две буквы, первая из них указывает на начало. Вторая отмечает точку на луче.

Ошибка: ставить букву вершины не в середине названия угла. Это нарушает принятое правило и может затруднить понимание записи. При обозначении угла тремя буквами проверь среднюю букву: она должна совпадать с общей точкой сторон. Например, если вершина O, пиши ∠AOB, а не ∠OAB.

Ошибка: считать стороны угла отрезками, которые видны на чертеже. Так происходит потому, что на рисунке лучи изображены лишь на ограниченной длине. Но сторона угла — луч, поэтому она продолжается от вершины в одном направлении и не имеет конца. Для проверки найди начало стороны и мысленно продли её дальше нарисованного участка.

Связь с другими темами

Для понимания луча и угла нужно знать, что такое точка и прямая, а также что означает принадлежность точки прямой. Эти понятия помогают увидеть, из чего состоит луч и где начинается его граница. Позже лучи и углы понадобятся при построении геометрических фигур и работе с ними. На их основе изучают сравнение, измерение и виды углов.

Что запомнить

• Луч — часть прямой с началом и всеми точками по одну сторону от него.
• Начало луча принадлежит лучу.
• Луч задают его началом и ещё одной точкой на нём.
• Угол образован двумя лучами с общим началом.
• Общее начало сторон угла называют его вершиной.
• Стороны угла — лучи, образующие этот угол.
• В обозначении угла тремя буквами буква вершины стоит в середине.