3.8. Измерение углов

Определения и обозначения

Градус — единица измерения углов; один градус равен 1/180 части развёрнутого угла и обозначается значком °. Например, запись 35° означает тридцать пять градусов. Эта единица позволяет измерять углы и сообщать их величину числом, а не только сравнивать на глаз.

Градусная мера угла — число градусов, показывающее величину угла. Если угол составляет, например, 60 равных частей-градусов, его мера равна 60°. Равным углам соответствуют равные градусные меры, поэтому числа помогают сравнивать углы и выполнять вычисления с ними.

Транспортир — инструмент для измерения и построения углов. Чтобы измерить угол, его центр совмещают с вершиной, а нулевую линию — с одной из сторон. После этого по шкале находят отметку, на которую указывает другая сторона: так можно определить меру угла или отложить угол заданной величины.

Как это устроено

Единицу измерения выбирают, разделив развёрнутый угол на 180 равных частей. Развёрнутый угол удобно взять за основу, потому что он образует прямую линию и его стороны направлены в противоположные стороны. Каждую из частей принимают за один градус, а значит, весь развёрнутый угол получает меру 180°. Благодаря общей единице можно сравнивать углы, даже если они нарисованы в разных местах или имеют стороны разной длины.

Чтобы измерить угол, поставьте центр транспортира точно на его вершину. Затем совместите нулевую линию транспортира с одной стороной, а вторую сторону проследите до шкалы. Отметка там показывает, сколько градусов отделяет одну сторону от другой. Если центр смещён или нулевая линия не совпадает со стороной, отсчёт будет начинаться не от нужного места, и результат окажется неверным.

На транспортире часто нанесены две шкалы, которые идут в противоположных направлениях. Правильную шкалу выбирают по той отметке 0°, которая совпала с первой стороной угла. От неё нужно вести отсчёт до второй стороны, а не брать ближайшее или просто заметное число. Это правило помогает не перепутать, например, острый угол с тупым: одна и та же линия может пересекать разные шкалы на разных числах.

Если лучи делят угол на части, их внутренние углы вместе составляют весь угол. Между частями нет промежутков и наложений, поэтому при сложении их мер получается мера целого угла. Например, если один угол разделён лучом на части 40° и 30°, то весь угол равен 40° + 30° = 70°. Это свойство работает и в обратную сторону: чтобы найти неизвестную часть, из меры целого угла вычитают известную часть.

Градусная мера позволяет не только измерять углы, но и определять их вид. Острый угол меньше 90°, прямой равен 90°, а тупой больше 90°, но меньше 180°. Развёрнутый угол равен 180°. Поэтому, сравнив измеренное число с 90° и 180°, можно назвать угол и проверить, правдоподобен ли результат измерения.

Виды углов по градусной мере

Сначала сравните градусную меру с 90° и 180°, а затем найдите подходящую строку таблицы. Границы учитывайте точно: 90° — прямой угол, а 180° — развёрнутый. Примеры показывают возможные меры, но углы каждого вида могут иметь и другие значения.

Разбор задач

Измерение угла транспортиром

Условие. Измерьте транспортиром угол, изображённый на рисунке. Сам рисунок в условии здесь не задан, поэтому нельзя назвать конкретное число градусов; можно разобрать порядок измерения. Результат будет зависеть от отметки, на которую действительно укажет сторона угла.

1. Найдите вершину угла и совместите с ней центр транспортира. Проверьте, что центр находится именно в точке, где сходятся стороны.
2. Поверните транспортир так, чтобы его нулевая линия совпала с одной стороной угла. Не сдвигайте прибор после совмещения, иначе положение второй стороны относительно шкалы изменится.
3. Проследите, где другая сторона пересекает деления. Выберите шкалу с нулём у первой стороны и считайте градусную меру по ней.

Ответ. Мера угла равна числу градусов на выбранной шкале у второй стороны. Чтобы назвать её численно, необходим сам рисунок угла. В конце проверьте, что прочитали значение от совпавшего нуля, а не с противоположной шкалы.

Найти часть угла

Условие. Угол ABC равен 125°. Луч BD делит его на два угла; один из них равен 48°. Найдите градусную меру второго угла. Здесь известен целый угол и одна его часть, поэтому требуется не складывать, а восстановить недостающую часть.

1. Обозначьте меру неизвестной части. Две части вместе образуют весь угол ABC, значит их меры в сумме дают 125°.
2. Вычтите известную часть из целого угла: 125° − 48° = 77°. Вычитание показывает, сколько градусов осталось после того, как из целого убрали известную часть.
3. Проверьте сложением: 48° + 77° = 125°. Сумма совпала с мерой целого угла, значит вычисление верно.

Ответ. Мера второго угла равна 77°. Она меньше 90°, следовательно, этот угол острый. Проверка подтверждает, что обе части составляют заданные 125°.

Угол внутри развёрнутого угла

Условие. Луч OC лежит внутри развёрнутого угла AOB. Угол AOC равен 67°. Найдите угол COB и определите его вид. Поскольку луч делит развёрнутый угол на две части, их меры должны вместе составить 180°.

1. Запишите меру целого угла: ∠AOB = 180°. Луч OC разделил его на углы AOC и COB, поэтому ∠AOC + ∠COB = 180°.
2. Найдите неизвестную часть: ∠COB = 180° − 67° = 113°. Из меры развёрнутого угла вычли известный угол.
3. Сравните 113° с 90° и 180°. Число больше 90° и меньше 180°, значит угол тупой.

Ответ. ∠COB = 113°, это тупой угол. Проверка: 67° + 113° = 180°, поэтому обе части действительно образуют развёрнутый угол.

Типичные ошибки

Часто считывают число с неверной шкалы транспортира, потому что не замечают, в какую сторону начинается отсчёт. В результате вместо, например, острого угла можно получить число, соответствующее тупому. Перед чтением найдите ноль, совпадающий с первой стороной, и проверьте, что отсчёт идёт от него к другой стороне.

Если центр транспортира не попал в вершину или нулевая линия не совпала со стороной, измерение будет неточным. Это случается, когда прибор прикладывают на глаз или он сдвигается во время считывания. Проверьте обе точки совмещения перед тем, как читать шкалу, и удерживайте транспортир неподвижно.

Иногда считают, что длинные стороны образуют больший угол. Но длина лучей не определяет меру: важен только размах между направлениями сторон. Чтобы проверить себя, мысленно продлите или укоротите стороны от вершины — раскрытие угла останется прежним.

При поиске части угла могут сложить известные меры вместо того, чтобы вычесть часть из целого. Ошибка возникает, если забыть, что сумма частей уже равна мере всего угла. Составьте равенство «целый угол = первая часть + вторая часть» и проверьте найденное число сложением с известной частью.

Связь с другими темами

Для измерения угла нужно уметь распознавать его вершину и стороны, а также различать острые, прямые, тупые и развёрнутые углы. Эти знания помогают правильно приложить транспортир и проверить полученный результат. Измерение и сложение углов пригодятся при изучении смежных и вертикальных углов: там важно видеть, как углы расположены и какие соотношения связывают их меры. Те же умения используются в задачах на свойства треугольников.

Что запомнить

• Развёрнутый угол равен 180°.
• Один градус — 1/180 развёрнутого угла.
• Равным углам соответствуют равные градусные меры.
• Мера целого угла равна сумме мер составляющих его углов.
• Острый угол меньше 90°, прямой равен 90°, тупой больше 90° и меньше 180°.
• Перед считыванием показания транспортира проверьте, с какого нуля ведётся отсчёт.