"Геометрия (изд. «Просвещение»)", Александров А.Д., Вернер А.Л. и др.
Углы можно складывать, вычитать, умножать на натуральное число и делить на него. Геометрически эти действия означают соединение углов, выделение части или разбиение на равные части. Величина полученного угла выражается в градусах и вычисляется по правилам арифметики, но одного счёта недостаточно: нужно учитывать, как углы расположены на чертеже. Эти действия помогают находить неизвестные углы в геометрических задачах.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Сумма углов — угол, который получается из двух углов с общей вершиной и общей стороной, если они расположены по разные стороны от этой стороны. Величина суммы равна сумме величин слагаемых углов. Это определение позволяет заменить изображение углов точным вычислением в градусах.
Разность углов — угол, который остаётся, если из большего угла выделить меньший. Его величина равна величине большего угла минус величина меньшего. Так можно находить неизвестную часть, когда известны целый угол и другая его часть.
Умножение угла на натуральное число означает составление угла из нескольких равных углов. Если взять n одинаковых углов величиной α, величина полученного угла будет n · α. Это удобно, когда один и тот же угол повторяется несколько раз.
Деление угла на натуральное число — разбиение угла на заданное число равных частей. Величина каждой части равна величине исходного угла, делённой на число частей. Такое действие помогает определить размер одной части, а результат можно проверить умножением.
Для сложения недостаточно просто увидеть два числа в градусах: нужно проверить геометрическое расположение углов. У них должны быть общая вершина и общая сторона, а внутренние области должны лежать по разные стороны от общей стороны. Тогда при соединении частей не возникает наложения, и они вместе составляют один угол. Поэтому величины частей складывают: если они равны 35° и 48°, целый угол равен 35° + 48° = 83°.
Вычитание связано со сложением как обратное действие. Если целый угол уже составлен из двух частей, то, убрав одну известную часть, мы оставим другую. Поэтому из величины целого угла вычитают величину известной части, причём целый угол должен быть не меньше неё. Например, из 126° вычитают 57°; оставшаяся часть имеет величину 69°.
Умножение угла на натуральное число можно представить последовательным откладыванием одинаковых углов. Например, чтобы получить три угла по 20°, сначала откладывают первый угол, затем рядом с ним — второй, а после — третий. Каждый новый угол добавляет ещё 20°, поэтому общая величина равна 20° + 20° + 20° = 3 · 20° = 60°. Такое представление объясняет, почему умножение соответствует повторному сложению.
При делении исходный угол мысленно или на чертеже разбивают на равные части. Если частей n, то величину всего угла делят на n, потому что каждая часть занимает одну из одинаковых долей. Например, угол 156°, разделённый на три равные части, даёт по 156° : 3 = 52°. Число 3 показывает количество частей, а 52° — величину каждой части.
Записывая действия, вместе с числами указывают знак градуса: 35° + 48° = 83°, а 126° − 57° = 69°. При умножении и делении действуют так же: 20° · 3 = 60°, 156° : 3 = 52°. Проверка обратным действием помогает заметить ошибку: частное умножают на делитель, а разность складывают с вычитаемым. Также полезно оценить результат: сумма должна быть больше каждой части, а разность — меньше большего угла.
| Действие | Как представить геометрически | Как найти величину результата |
|---|---|---|
| Сложение двух углов | Соединить углы общей вершиной и общей стороной по разные стороны от неё | Сложить величины углов |
| Вычитание меньшего угла из большего | Выделить меньший угол внутри большего и рассмотреть остаток | Вычесть величину меньшего из величины большего |
| Умножение угла на натуральное число | Составить угол из нескольких равных углов | Умножить величину угла на число повторений |
| Деление угла на натуральное число | Разбить угол на заданное число равных частей | Разделить величину угла на число частей |
Сначала выберите строку с нужным действием и представьте, что происходит с углами на чертеже. Затем выполните действие с величинами в градусах. Для деления или вычитания проверьте, что ответ соответствует условию: частей столько, сколько задано, а остаток не больше исходного угла.
Задача 1. Два угла с общей вершиной и общей стороной расположены по разные стороны от неё. Их величины равны 35° и 48°. Найдите величину составленного угла. Условие о расположении показывает, что углы составляют один угол без наложения частей. Значит, нужно сложить их величины.
Ответ: 83°.
Задача 2. Угол величиной 126° разделили на два угла; один из них равен 57°. Найдите величину второго. Здесь известны целый угол и одна его часть, поэтому складывать величины нельзя: требуется найти оставшуюся часть. Для этого применяем вычитание.
Ответ: 69°.
Задача 3. Угол величиной 156° разделили на три равных угла, затем один из полученных углов разделили пополам. Найдите величину каждой из двух последних частей. Сначала нужно определить размер одного из трёх равных углов, а потом разделить именно его на две равные части. Последовательность действий важна: пополам делят один маленький угол, а не весь угол 156°.
Ответ: каждая из двух последних частей равна 26°.
Ошибка — складывать величины, не проверяя, образуют ли углы нужный общий угол. Её допускают, когда смотрят только на числа и забывают о чертеже: углы могут накладываться или быть расположены иначе. Проверьте общую вершину, общую сторону и то, что части находятся по разные стороны от неё. Если условие выполнено, сумма описывает величину составленного угла.
При вычитании иногда меняют порядок и вычитают большую величину из меньшей. Такую ошибку допускают, если не различают целый угол и его часть. Разность ищут как величину большего угла минус величина меньшего, поэтому ответ не должен быть отрицательным. Проверка сложением: к остатку прибавляют вычтенную часть и получают целый угол.
При делении путают число частей с величиной одной части. Например, число 3 означает три равные части, а не то, что каждая часть равна 3°. Перед вычислением назовите, на сколько частей делят угол, затем разделите его величину на это число. Проверка: величина части, умноженная на число частей, должна дать исходный угол.
Ошибки возникают и при вычислениях с градусами, особенно если результат сложения или вычитания больше 90°. Иногда число принимают за сам угол и не оценивают, подходит ли ответ к условию. Выполните прикидку: сумма должна быть больше слагаемых, а разность — меньше уменьшаемого. Затем проверьте вычисление обратным действием и не теряйте знак градуса.
Для действий с углами нужно уметь измерять их в градусах и пользоваться транспортиром. Также следует помнить, что величина угла не зависит от длины его сторон: длинные стороны не делают угол больше. Эти знания помогают правильно читать чертёж и переводить его в вычисления.
Сложение и вычитание углов пригодятся при изучении смежных и вертикальных углов, а также биссектрисы — луча, который делит угол на две равные части. В задачах с такими объектами часто известны одни углы, а другие нужно найти. Умение выполнять действия с величинами позволяет записать связь между ними и вычислить неизвестное.
Когда два угла можно сложить, чтобы получить один угол?
Когда у них общая вершина и общая сторона, а сами углы расположены по разные стороны от этой стороны. Тогда они образуют один угол, величина которого равна сумме величин частей.
Как найти неизвестную часть угла, если известны целый угол и другая часть?
Нужно из величины целого угла вычесть величину известной части. Например, если целый угол равен 126°, а одна часть — 57°, то другая равна 126° − 57° = 69°.
Что означает умножить угол на натуральное число?
Это значит сложить несколько равных углов. Например, три угла по 20° составляют угол величиной 3 · 20° = 60°.
Как разделить угол на несколько равных частей?
Нужно разделить его величину на число частей. Например, угол 90°, разделённый на три равные части, даёт части по 90° : 3 = 30°.
Как проверить вычисления при делении угла?
Умножьте величину одной части на число частей. Если получилось исходное значение угла, деление выполнено верно.
3.7. Действия с углами
