3.6. Вертикальные углы. Перпендикулярные прямые

Определения и обозначения

Вертикальные углы — это углы, образованные двумя пересекающимися прямыми и расположенные напротив друг друга. Стороны одного такого угла являются продолжениями сторон другого: каждая пара лежит на одной прямой и направлена в противоположные стороны. Поэтому вертикальную пару можно распознать не просто по месту на рисунке, а по продолжению сторон. Это понятие позволяет связать величины углов, которые не имеют общей стороны.

Смежные углы — это два угла с общей стороной, у которых две другие стороны являются противоположными лучами. Вместе они образуют развернутый угол, поэтому сумма их градусных мер равна 180°. Это свойство помогает найти неизвестный угол, если известен смежный с ним. При пересечении прямых любая пара соседних углов является смежной.

Перпендикулярные прямые — это пересекающиеся прямые, которые образуют прямой угол. Запись a ⟂ b читают так: прямая a перпендикулярна прямой b; знак ⟂ называется знаком перпендикулярности. Он показывает не просто пересечение, а пересечение под прямым углом. Это обозначение используют в чертежах и при записи решений.

Прямой угол — угол, градусная мера которого равна 90°. Его стороны направлены так, что при пересечении прямых вокруг точки пересечения получаются четыре прямых угла. Значение 90° служит точным признаком прямого угла, а не приблизительной оценкой по виду чертежа. Поэтому для вывода о перпендикулярности нужно установить именно эту меру.

Как это устроено

При пересечении двух прямых в точке получаются четыре угла, потому что каждая прямая состоит из двух противоположных лучей. Если обходить точку пересечения по кругу, соседние углы имеют общую сторону, а две оставшиеся стороны лежат на одной прямой и направлены противоположно. Значит, такие соседние углы смежные. Углы, которые стоят друг напротив друга и не имеют общей стороны, вертикальные: стороны одного продолжают стороны другого.

Чтобы доказать равенство вертикальных углов, сравним их с одним и тем же углом. Пусть углы A и C вертикальны, а угол B смежен и с A, и с C. Тогда A + B = 180° и C + B = 180°, потому что обе пары смежные. В обеих суммах вычитается одинаковая величина B, поэтому A = C. Так получается равенство вертикальных углов, а не просто наблюдение по рисунку.

Предположим, один из углов при пересечении прямых равен 90°. Смежный с ним угол в сумме должен дать 180°, значит, он равен 180° − 90° = 90°. Два угла, расположенные напротив этих, вертикальны первым двум, поэтому тоже равны 90°. Таким образом, все четыре угла прямые: причина в свойствах смежных и вертикальных углов.

Обратный признак перпендикулярности формулируется так: если при пересечении прямых хотя бы один образовавшийся угол равен 90°, прямые перпендикулярны. По определению перпендикулярные прямые должны пересекаться и образовывать прямой угол. Условие как раз сообщает о пересечении и наличии такого угла, поэтому признак сразу позволяет сделать вывод. Остальные углы тоже будут прямыми благодаря предыдущему рассуждению.

Неизвестные углы находят, сначала определив их положение относительно известного. Если искомый угол вертикальный известному, их меры равны; если смежный — из 180° вычитают известную меру. Например, при угле 64° вертикальный ему равен 64°, а каждый смежный равен 180° − 64° = 116°. Если данных меньше, можно обозначить неизвестную величину буквой и составить уравнение по сумме смежных углов. После вычисления полезно проверить, что вертикальные пары равны, а сумма каждой смежной пары равна 180°.

Как распознавать углы и перпендикулярные прямые

Пользуйтесь таблицей, чтобы сначала определить взаимное расположение углов, а затем выбрать нужное свойство. Для вертикальной пары применяйте равенство, для смежной — сумму 180°. Перпендикулярность записывайте только тогда, когда прямой угол установлен по условию или вычислениям.

Разбор задач

Задача 1. Две прямые пересекаются. Один из образовавшихся углов равен 47°. Найдите вертикальный ему угол и оба смежных угла. Сначала определим, какие связи подходят: противоположный угол вертикален данному, а два соседних с ним — смежные. Так мы используем и равенство вертикальных углов, и сумму смежных.

1. Вертикальный угол равен данному: 47°.
2. Каждый смежный угол равен 180° − 47° = 133°.
3. Два смежных угла также вертикальны друг другу, поэтому оба имеют меру 133°.

Ответ: вертикальный угол равен 47°, оба смежных — по 133°. Проверка: 47° + 133° = 180°, а вертикальные пары равны.

Задача 2. При пересечении двух прямых один угол на 36° больше смежного с ним. Найдите все четыре угла. Смежные углы различаются на 36°, а вместе дают 180°. Обозначим меньший угол через x°, тогда больший равен (x + 36)°; запись через неизвестную помогает использовать оба условия одновременно.

1. Составим уравнение: x + (x + 36) = 180.
2. Получим 2x + 36 = 180, откуда 2x = 144 и x = 72.
3. Больший угол равен 72° + 36° = 108°. Вертикальные углы равны соответствующим найденным.

Ответ: два угла по 72° и два по 108°. Проверка: 72° + 108° = 180°, а в каждой вертикальной паре меры совпадают.

Задача 3. Известно, что два смежных угла равны. Докажите, что их стороны образуют две перпендикулярные прямые. Здесь нужно не измерять углы по чертежу, а получить их величины из равенства и свойства смежной пары. Обозначим меру каждого угла через x°.

1. По свойству смежных углов x + x = 180°.
2. Тогда 2x = 180°, поэтому x = 90°.
3. Смежные углы образованы при пересечении двух прямых, и каждый равен 90°. Следовательно, эти прямые перпендикулярны.

Ответ: стороны углов лежат на двух взаимно перпендикулярных прямых. Доказательство опирается на равенство углов и их сумму, а не на внешний вид рисунка.

Типичные ошибки

Ошибка — считать вертикальными любые углы, которые на рисунке выглядят противоположными. Так бывает, если рисунок схематичный или линии расположены иначе, чем кажется при беглом взгляде. Проверьте, что углы образованы двумя пересекающимися прямыми и стороны каждого являются продолжениями сторон другого. Только тогда можно применять равенство вертикальных углов.

Не путайте вертикальные углы со смежными: вертикальные стоят напротив и равны, а смежные соседствуют и имеют общую сторону. Ошибку часто вызывает то, что обе пары появляются при пересечении одних и тех же прямых. Перед вычислением проследите стороны: если две стороны пары — противоположные лучи, углы смежные, и их сумма равна 180°.

Неверно утверждать, что вертикальные углы в сумме дают 180°. Это свойство относится к смежным углам, а вертикальные имеют одинаковые меры, которые могут быть, например, по 47°. Чтобы проверить рассуждение, назовите тип пары и вспомните его свойство: равенство для вертикальной пары, сумма 180° для смежной.

Нельзя объявлять прямые перпендикулярными лишь потому, что угол на чертеже выглядит прямым. Чертёж может быть выполнен приблизительно, и зрительная оценка не заменяет доказательства. Ищите в условии угол 90° или выводите его из свойств углов. Если такой меры установить нельзя, перпендикулярность пока не доказана.

Связь с другими темами

Для этой темы нужно знать, что такое угол, луч и пересекающиеся прямые, а также уметь измерять углы в градусах. Особенно важно свойство смежных углов: их градусные меры в сумме дают 180°. Без него нельзя обосновать равенство вертикальных углов и вычислять неизвестные величины.

Равенство углов и перпендикулярность прямых встречаются в задачах о треугольниках и геометрических построениях. Они помогают обосновывать свойства фигур и точно описывать взаимное расположение линий. В дальнейшем те же приёмы пригодятся в доказательствах: нужно распознать подходящую пару углов и применить её свойство.

Что запомнить

• Вертикальные углы образуются при пересечении двух прямых.
• Вертикальные углы равны.
• Сумма смежных углов равна 180°.
• Перпендикулярные прямые пересекаются под прямым углом.
• Прямой угол равен 90°.
• Если при пересечении прямых один угол равен 90°, прямые перпендикулярны.