3.5. Построение биссектрисы угла. Построение прямого угла

Определения и обозначения

Биссектриса угла — луч, который выходит из вершины угла и делит его на два равных угла. Например, если луч OC делит угол AOB, то ∠AOC = ∠COB. Это свойство помогает проверить построение: нужно обосновать, что обе части угла равны, а не просто убедиться, что луч проходит внутри него.

Построение биссектрисы циркулем и линейкой — последовательность действий, в которой используют только циркуль и линейку без делений. Циркулем откладывают равные расстояния и проводят дуги, а линейкой соединяют точки. Такой способ нужен, когда угол нельзя или не требуется измерять транспортиром: правильность результата доказывают свойствами отрезков и треугольников.

Прямой угол — угол, равный половине развёрнутого угла. Развёрнутый угол составляет 180°, поэтому прямой угол равен 90°. Если луч делит развёрнутый угол на две равные части, каждая часть будет прямой; поэтому построение перпендикулярного луча можно свести к делению развёрнутого угла пополам.

Построение прямого угла — получение перпендикулярных прямых или лучей с помощью циркуля и линейки. Перпендикулярными называют прямые, которые пересекаются под прямым углом. Построение основано на равенстве отрезков и углов: с их помощью доказывают, что угол действительно равен 90°, а не только выглядит прямым.

Как это устроено

Пусть вершина данного угла — O. Поставь иглу циркуля в O и проведи дугу, пересекающую обе стороны угла в точках A и B. Радиус этой дуги один и тот же, поэтому OA = OB: обе длины равны радиусу циркуля. Равные отрезки нужны, чтобы будущие треугольники по разные стороны от искомого луча имели одну пару равных сторон.

Теперь поставь циркуль сначала в A, затем в B и проведи дуги одним и тем же радиусом. Выбранный радиус должен быть таким, чтобы дуги пересеклись внутри угла; при необходимости его можно увеличить. Обозначь пересечение через C. Так как AC и BC — радиусы дуг одинаковой величины, AC = BC, то есть C находится на одинаковом расстоянии от A и B.

Соедини O и C. Получились треугольники OAC и OBC. У них OA = OB, AC = BC, а OC — общая сторона, поэтому треугольники равны по трём сторонам. В равных треугольниках соответствующие углы равны, значит, ∠AOC = ∠COB; луч OC делит исходный угол пополам и является его биссектрисой.

Чтобы построить перпендикуляр к прямой в заданной на ней точке O, сначала отметь на прямой точки A и B по разные стороны от O так, чтобы OA = OB. Это можно сделать одной дугой с центром в O. Затем из A и B проведи дуги одинакового радиуса, достаточно большого для их пересечения, и обозначь точку пересечения через C. Тогда AC = BC, а OA = OB: равенства понадобятся для сравнения треугольников.

Треугольники OAC и OBC равны по трём сторонам: OA = OB, AC = BC, OC — общая сторона. Поэтому углы AOC и COB равны. Вместе они образуют развёрнутый угол на прямой AB, то есть составляют 180°; каждый из двух равных углов равен половине 180°, или 90°. Следовательно, луч OC перпендикулярен прямой AB, а прямая, содержащая этот луч, образует с ней прямой угол.

Построения биссектрисы угла и прямого угла

Пользуйся таблицей как коротким планом: сначала найди нужное построение, затем выполни перечисленные действия по порядку. Последние два ряда показывают общий способ обоснования: равенство отрезков приводит к равенству треугольников, а оно — к равенству углов.

Разбор задач

1. Построить биссектрису данного угла с помощью циркуля и линейки

Обозначим вершину угла O, а его стороны — лучи OA и OB. Нужно найти внутри угла такую точку, чтобы соединяющий её с O луч делил угол на две равные части. Поэтому сначала отметим на обеих сторонах точки на одном расстоянии от вершины, а затем построим точку, равноудалённую от этих отметок.

1. Поставь циркуль в O и проведи дугу, пересекающую стороны угла в A и B. Получится OA = OB, поскольку оба отрезка равны радиусу одной дуги.
2. Не меняя раствора циркуля, поставь его по очереди в A и B и проведи дуги внутри угла. Обозначь их точку пересечения через C. Одинаковый радиус даёт AC = BC.
3. Проведи линейкой луч OC. Треугольники OAC и OBC равны по трём сторонам: OA = OB, AC = BC, OC — общая сторона. Значит, ∠AOC = ∠COB.

Ответ: луч OC — биссектриса угла AOB. Проверка здесь не сводится к тому, что луч визуально проходит примерно посередине: равенство углов следует из равенства треугольников.

2. На данной прямой отметить точку и построить через неё перпендикуляр

Пусть прямая обозначена l, а заданная на ней точка — O. Искомый луч должен образовать с l угол 90°. Для этого построим два равных угла, которые вместе составляют развёрнутый угол: тогда каждый будет равен половине 180°.

1. Поставь циркуль в O и проведи дугу, пересекающую прямую в точках A и B. Тогда OA = OB, а точка O находится между A и B.
2. Выбери радиус больше половины AB. Проведи из A и B дуги одинакового радиуса и обозначь их пересечение с одной стороны от прямой через C.
3. Соедини O и C. Треугольники OAC и OBC равны по трём сторонам: OA = OB, AC = BC, OC — общая сторона. Поэтому углы AOC и COB равны.

Ответ: прямая OC перпендикулярна l. Два равных смежных угла вместе составляют развёрнутый угол 180°, поэтому каждый равен 90°.

3. Построить прямой угол, используя данную прямую и точку вне её

Пусть дана прямая l и точка P вне неё. Чтобы получить прямой угол с вершиной P, достаточно построить через P перпендикуляр к l. По плану это можно сделать через уже построенный перпендикуляр в точке на l: провести через P прямую, параллельную ему. Для построения параллельной прямой используют перпендикулярное построение дважды.

1. Выбери на l точку O и построй через неё перпендикуляр m способом из предыдущей задачи.
2. Через P построй прямую n, перпендикулярную m: отметь на m точки, равноудалённые от выбранной точки, и построй дугами точку пересечения, как при построении перпендикуляра.
3. Так как m перпендикулярна l и n перпендикулярна m, прямые n и l параллельны. Поэтому n образует с m прямой угол при P.

Ответ: прямая n проходит через P и образует прямой угол с m. Если требуется именно перпендикуляр к исходной l через P, проведи через P прямую, перпендикулярную l напрямую тем же построением; важно уточнять, к какой прямой должен быть перпендикуляр.

Типичные ошибки

Если для дуг с центрами на сторонах угла взять разные радиусы, то отрезки от их пересечения до центров не будут равны. Тогда треугольники могут оказаться неравными, и равенство углов не следует из построения. Ошибку допускают, когда меняют раствор циркуля между дугами; проверь себя: сохрани одинаковый радиус и сравни построенные отрезки.

Дуги могут получиться слишком короткими или вовсе не пересечься. Причина обычно в том, что радиус недостаточен для выбранного расстояния между центрами; без пересечения нельзя отметить нужную точку. Увеличь радиус, не меняя его между дугами, и убедись, что пересечение расположено в нужной области — внутри угла или вне прямой.

Если соединить вершину угла с одной из точек, отмеченных на его сторонах, получится луч, который просто лежит на стороне исходного угла. Его нельзя считать биссектрисой: он не направлен к пересечению равных дуг, и равенство частей угла не доказано. Проверка простая: проведённый луч должен выходить из вершины и проходить через пересечение дуг.

Нельзя считать, что любой луч из точки на прямой автоматически образует с ней прямой угол. Луч может пересекать прямую под любым углом, поэтому одного аккуратного чертежа недостаточно. Проверь себя обоснованием: равные треугольники дают два равных угла, а их сумма равна 180°, значит, каждый равен 90°.

Связь с другими темами

Для этих построений нужны навыки обращения с циркулем и линейкой: умение сохранять раствор циркуля, проводить дуги и отмечать точки пересечения. Доказательство опирается на равенство треугольников и соответствующих углов, а при построении перпендикуляра — ещё и на свойство развёрнутого угла. Биссектрисы и перпендикуляры встречаются в задачах на углы и треугольники и становятся основой для дальнейших геометрических построений.

Что запомнить

• Биссектриса делит угол на два равных угла.
• При построении биссектрисы используют равные расстояния от вершины и равные радиусы дуг.
• Точка пересечения равных дуг равноудалена от их центров.
• Перпендикулярные прямые образуют прямой угол.
• Прямой угол составляет половину развёрнутого угла.
• Каждое построение нужно обосновать свойствами полученных отрезков, углов или треугольников.