3.4. Сравнение углов. Прямой угол. Биссектриса угла

Определения и обозначения

Сравнение углов — установление того, равны ли два угла или один из них больше другого. Для этого совмещают их вершины и по одной стороне. Такое сравнение помогает рассуждать точно, даже если углы находятся в разных местах чертежа.

Равные углы — это углы, которые при совмещении совпадают своими сторонами. Их вершины и одна сторона накладываются друг на друга, а вторые стороны тоже занимают одно положение. Равенство означает одинаковую величину раскрытия, а не одинаковую длину нарисованных сторон.

Прямой угол — угол, равный своему соседнему углу. На чертеже он имеет форму угольника, поэтому его можно распознать с помощью чертёжного угольника. Прямой угол служит ориентиром для определения других углов.

Биссектриса угла — луч, исходящий из вершины угла и делящий его на два равных угла. Он должен проходить внутри угла, иначе две получившиеся части не будут его частями. Например, луч OM — биссектриса угла AOB, если M начинается в точке O и ∠AOM = ∠MOB.

Как это устроено

Чтобы сравнить углы наложением, один из них мысленно переносят к другому. Сначала совмещают вершины, затем одну сторону одного угла с одной стороной другого, направляя лучи в одну сторону. После этого положение вторых сторон показывает результат сравнения.

Если вторые стороны совпали, оба угла занимают одно и то же пространство, поэтому они равны. Если сторона одного угла оказалась внутри другого, его раскрытие меньше, и первый угол меньше второго. Если же одна сторона вышла за пределы другой, большим будет угол, охватывающий большее раскрытие.

Прямой угол можно определить через соседний: если два соседних угла равны, каждый из них является прямым. Причина в том, что их внешние стороны образуют прямую линию, а равные части развернутого угла составляют прямые углы. На практике прямоту проверяют угольником: его вершину прикладывают к вершине угла, а стороны инструмента — к его сторонам.

Луч, делящий угол на две равные части, проходит внутри угла, потому что именно там находятся его внутренние части. Если луч совпадает с одной из сторон или выходит наружу, он не разделяет исходный угол на две части. Поэтому в определении биссектрисы одновременно важны начало в вершине, положение внутри угла и равенство получившихся углов.

Сравнение углов позволяет проверить биссектрису без измерения транспортиром. Нужно рассмотреть два угла, образованные данным лучом, и наложением установить, совпадают ли они. Совпадение подтверждает равенство частей, а вместе с тем, что луч начинается в вершине, доказывает его свойство биссектрисы.

Сравнение углов и основные виды углов

Таблица показывает, какое условие нужно проверить для каждого объекта. При решении задачи сначала находят подходящее определение, затем проверяют все его признаки, а не только внешний вид чертежа.

Разбор задач

Задача 1. Даны два угла на разных чертежах. Объясните, как установить, равны ли они, не измеряя их транспортиром. Здесь нельзя ориентироваться на положение углов или длину их сторон: нужно сравнить именно раскрытия.

1. Мысленно перенесём один угол к другому и совместим их вершины.
2. Одну сторону первого угла наложим на одну сторону второго, направив лучи в одну сторону.
3. Сравним вторые стороны: совпадение означает равенство, а положение одной стороны внутри другой показывает, какой угол меньше.

Ответ: углы сравнивают наложением по совпадению или взаимному положению их вторых сторон.

Задача 2. Луч внутри угла делит его на два угла, которые при наложении совпадают. Требуется назвать луч и сделать вывод о частях угла. В условии уже указаны и положение луча, и равенство образованных углов.

1. Проверим начало луча: он находится в вершине исходного угла.
2. Так как луч расположен внутри угла, он действительно разделяет его на две части.
3. При наложении части совпадают, значит, образованные углы равны.

Ответ: луч является биссектрисой, а два получившихся угла равны.

Задача 3. Луч OM лежит внутри угла AOB, причём ∠AOM = ∠MOB. Докажем, что OM — биссектриса угла AOB. Для доказательства достаточно сопоставить условие с определением.

1. По условию луч OM имеет начало в точке O, а O — вершина угла AOB.
2. Также по условию OM лежит внутри угла AOB, поэтому он делит исходный угол на ∠AOM и ∠MOB.
3. Эти углы равны, так как это прямо дано в условии.

Ответ: OM — биссектриса угла AOB, потому что выходит из его вершины, проходит внутри и делит угол на две равные части.

Типичные ошибки

Сравнивать по длине сторон. Длинные лучи не делают угол большим: величина определяется их раскрытием. Проверьте себя наложением, мысленно ограничив стороны одинаковой длиной.

Доверять внешнему виду. Чертёж может быть выполнен неточно, поэтому похожие углы не обязательно равны. Ищите условие задачи или выполняйте наложение.

Называть биссектрисой любой внутренний луч. Такой луч может делить угол на неравные части. Сравните образованные углы и убедитесь, что они совпадают.

Путать вершину с точкой на стороне. Луч, начинающийся не в вершине, не может быть биссектрисой этого угла. Сначала проверьте его начало, затем равенство двух частей.

Связь с другими темами

До изучения темы нужно знать, что угол образован двумя лучами с общим началом, и уметь правильно его обозначать: вершина записывается в середине обозначения, например ∠AOB. Сравнение углов и биссектриса понадобятся при изучении видов треугольников, геометрических построений и доказательств. Умение работать с определениями помогает обосновывать каждый шаг решения.

Что запомнить

• Углы сравнивают наложением.
• Совпадение сторон при наложении означает равенство углов.
• Если вторая сторона одного угла лежит внутри другого, первый угол меньше второго.
• Прямой угол — особый вид угла.
• Биссектриса выходит из вершины угла.
• Биссектриса делит угол на два равных угла.