3.3. Откладывание угла

Определения и обозначения

Равные углы — это углы, градусные меры которых равны. Например, запись ∠ABC = ∠DEF означает, что вершина B соответствует вершине E, а стороны луча BA и BC — лучам ED и EF. Такое соответствие нужно, чтобы правильно сравнивать не только величины углов, но и их стороны.

Откладывание угла — это построение угла, равного данному, от заданного луча и в заданной полуплоскости. Начало заданного луча становится вершиной нового угла, а сам луч — одной из его сторон. Так угол можно перенести с одного места на другое с помощью циркуля и линейки.

Единственность отложенного угла означает, что на заданном луче в выбранной полуплоскости можно построить ровно один угол, равный данному. Другого положения второй стороны, удовлетворяющего всем условиям, быть не может. Это свойство позволяет считать результат построения определённым.

Как это устроено

Сначала выбирают любой удобный радиус и проводят дугу с центром в вершине данного угла. Она пересекает обе стороны угла в двух точках. Затем тем же радиусом проводят дугу с центром в начале заданного луча: одинаковый радиус нужен, чтобы получить равные расстояния от обеих вершин до соответствующих точек.

Расстояние между точками первой дуги на сторонах данного угла измеряют циркулем. Не меняя раствора циркуля, переносят это расстояние на вторую дугу. Так на новой дуге появляется точка, которая сохраняет взаимное расположение сторон исходного угла, а не просто положение одной из его точек.

Через начало заданного луча и найденную точку проводят второй луч. Чтобы доказать результат, рассматривают два треугольника: один связан с исходным углом, другой — с построенным. Их соответствующие радиусы равны, отрезки между точками на дугах равны по переносу, а третьи стороны совпадают с выбранными радиусами.

Значит, треугольники равны по трём сторонам. Из равенства треугольников следуют равенства соответствующих углов, поэтому построенный угол равен данному. Доказательство опирается не на вид рисунка, а на точно перенесённые длины.

Полуплоскость выбирают заранее, потому что от прямой, содержащей заданный луч, есть две стороны. В одной полуплоскости вторая сторона нового угла будет направлена в одну сторону, а в другой — симметрично в противоположную. После выбора полуплоскости заданные расстояния определяют единственную точку второй дуги и единственный второй луч.

Этапы откладывания угла и их обоснование

Таблицу удобно читать как последовательность построения: каждый следующий этап использует результат предыдущего. Последняя строка объясняет, почему построение верно, а не только показывает порядок действий. Если пропустить перенос расстояния между точками, доказать равенство углов нельзя.

Разбор задач

Задача 1

Условие: дан угол и луч с началом O. Требуется построить в указанной полуплоскости угол, равный данному. Нужно выполнить построение циркулем и линейкой, не измеряя величину угла транспортиром.

1. Выбрать радиус и провести дугу из вершины данного угла, отметив её пересечения со сторонами.
2. Тем же радиусом провести дугу с центром O.
3. Циркулем перенести на новую дугу расстояние между двумя отмеченными точками первой дуги.
4. Соединить O с полученной точкой и выбрать направление в указанной полуплоскости.

Ответ: построенный угол с вершиной O равен данному, потому что соответствующие треугольники имеют равные три стороны.

Задача 2

Условие: даны угол ABC и луч OX. Нужно построить угол XOY, равный ∠ABC, и обосновать результат. Первая сторона искомого угла уже задана лучом OX, поэтому построить требуется только луч OY.

1. Провести дугу с центром B, пересекающую BA и BC в точках, например, M и N.
2. Тем же радиусом провести дугу с центром O, пересекающую OX в точке P.
3. Раствором циркуля, равным MN, отложить на второй дуге точку Q в требуемой полуплоскости.
4. Провести луч OQ и назвать его OY.
5. Сравнить треугольники BMN и OPQ: BM = OP, BN = OQ, MN = PQ.

Ответ: ∠XOY = ∠ABC. Равенство треугольников по трём сторонам даёт равенство углов при вершинах B и O.

Задача 3

Условие: из точки O проведён луч OX, который разделяет плоскость на две полуплоскости. В каждой из них нужно построить угол с вершиной O, равный данному. Здесь выполняются два отдельных построения с одним и тем же исходным углом.

1. Для первой полуплоскости повторить построение: провести дугу, перенести расстояние между её точками и провести второй луч.
2. Для второй полуплоскости снова перенести те же длины, но отметить точку по другую сторону от луча OX.
3. В каждом случае применить равенство соответствующих треугольников по трём сторонам.
4. Для единственности заметить: на каждой дуге в выбранной полуплоскости нужное расстояние задаёт только одну точку, а через O и эту точку проходит только один луч.

Ответ: в каждой полуплоскости получается ровно один угол, равный данному; всего при двух полуплоскостях возможны два симметричных построения.

Типичные ошибки

Разные радиусы для двух дуг нарушают соответствие построения. Так допускают ошибку, когда считают важным только пересечение дуг, но не их общий масштаб. Проверьте себя: оба раствора циркуля должны быть одинаковыми.

Иногда переносят положение одной точки, а не расстояние между двумя точками на сторонах угла. Одной точки недостаточно, потому что она не задаёт ширину и направление угла. Нужно проверить, что циркулем перенесён именно отрезок между двумя пересечениями первой дуги.

Вторая сторона может оказаться в противоположной полуплоскости. Это происходит, если не отметить нужную сторону от заданного луча до начала построения. Проверьте расположение нового луча относительно прямой, содержащей заданный луч.

Равенство радиусов само по себе не доказывает равенство углов. Радиусы дают только две пары равных сторон, поэтому необходимо ещё перенести расстояние между точками дуг. После этого проверьте равенство треугольников по трём сторонам.

Связь с другими темами

До откладывания угла нужно уметь пользоваться циркулем и линейкой, строить окружность и переносить отрезок. Эти действия составляют техническую основу построения. Без точного переноса длины результат может оказаться неверным.

Тема опирается на равенство углов и признак равенства треугольников по трём сторонам. Через этот признак геометрическое построение получает строгое доказательство. Поэтому важно различать внешний вид фигур и равенство их соответствующих элементов.

Откладывание угла используется при построении биссектрисы, сравнении углов и решении задач на геометрические построения. Оно позволяет переносить условия задачи в другую часть чертежа. Освоив этот приём, легче строить более сложные фигуры.

Что запомнить

• Откладывание угла — построение угла, равного данному, от заданного луча.
• Построение выполняют в указанной полуплоскости.
• Для переноса используют одинаковые радиусы дуг.
• Расстояние между точками на сторонах данного угла переносят циркулем.
• Равенство углов обосновывают равенством треугольников по трём сторонам.
• В заданной полуплоскости от заданного луча можно отложить ровно один угол, равный данному.