3.2. Равенство углов. Свойство равных углов

Определения и обозначения

Равные углы — это углы, которые при наложении можно совместить так, чтобы совпали их вершины и стороны. Равенство углов AOB и CDE записывают так: ∠AOB = ∠CDE. Это понятие нужно, чтобы точно сравнивать углы, даже если на чертеже они изображены в разных местах или повернуты по-разному.

Соответствующие стороны углов — это лучи, которые совмещаются друг с другом при наложении углов. Например, если вершина O совпала с D, а луч OA — с DC, то OA и DC соответствуют друг другу; второй луч одного угла должен совпасть со вторым лучом другого. Это уточнение помогает правильно определить, какие стороны сравнивать, и не перепутать их при проверке равенства.

Градусная мера угла — число, которое показывает его величину в градусах. Её можно измерить транспортиром и использовать для сравнения углов: например, 48° меньше 60°. Градусная мера позволяет установить равенство без физического наложения чертежей, если измерения или условия задачи известны точно.

Как это устроено

Чтобы проверить равенство углов наложением, представь, что один из них можно переместить и повернуть, не меняя его величины. Совмести вершины и одну сторону, а затем посмотри, совпала ли вторая сторона. Если она совпала, угол целиком накрыл другой; если нет, границы углов различаются и они не равны. Совмещение только вершины и одного луча недостаточно: вокруг этого луча второй луч может занимать разные положения.

У равных углов одинаковая градусная мера, потому что при наложении совпадают обе их стороны и величина между сторонами одна и та же. Обратно, если градусные меры равны, углы можно совместить: после совмещения вершин и одной стороны вторые стороны окажутся в одном положении. Поэтому равенство можно устанавливать как наложением, так и по известным равным мерам. Например, углы по 35° равны, хотя один может быть нарисован вертикально, а другой наклонно.

Перенос угла с помощью наложения означает, что его положение на листе меняют, сохраняя вершину и стороны относительно друг друга. Так можно сравнить неизвестный угол с данным: совместить вершины и одну сторону, а затем проверить, где окажется вторая сторона. Если нужно построить равный угол, перенеси исходный угол к новой вершине и совмести соответствующие стороны. Перемещение и поворот не меняют градусную меру, потому что расстояние между сторонами угла остаётся прежним.

При совпадении углов совпадают не только их величины, но и соответствующие стороны при выбранном наложении. Так, если луч OA совместился с DC, то эти лучи образуют одну соответствующую пару; второй луч угла AOB должен совместиться со вторым лучом угла CDE. Порядок букв в записи угла помогает увидеть его стороны: у ∠AOB это лучи OA и OB, у ∠CDE — DC и DE. Если обозначить соответствие сторон неправильно, можно ошибочно решить, что углы не совпадают.

На чертеже равенство устанавливают по достаточным данным, а не по тому, насколько похожими кажутся углы. Если их градусные меры указаны и равны, этого достаточно; если есть возможность наложения, нужно проверить совпадение обеих сторон. Иногда равенство следует из уже известных свойств или условий задачи, например из равенства частей, полученных при делении углов пополам. Такой подход отделяет доказательство от приблизительного впечатления от рисунка.

Как установить равенство углов

В таблице собраны способы проверки и то, какой вывод позволяет сделать каждый из них. Выбирай способ по данным задачи: если известны градусные меры, сравни их, а если можно выполнить наложение — проверь обе стороны. Совпадение соответствующих сторон рассматривай при условии, что вершины и одна пара сторон уже совмещены.

Разбор задач

Задача 1. Углы AOB и CDE имеют градусные меры 48° и 48°. Установите, равны ли они. Сначала важно выяснить, что именно сравнивают: не расположение углов на рисунке, а их величины. Для этого достаточно воспользоваться свойством равенства углов и равенства их градусных мер.

1. Запишем данные: ∠AOB = 48°, ∠CDE = 48°.
2. Сравним меры: обе равны 48°, значит, градусные меры одинаковы.
3. Углы с одинаковыми градусными мерами равны, поэтому ∠AOB = ∠CDE.

Ответ: углы равны. Они могут быть расположены по-разному, но это не меняет их величины.

Задача 2. При наложении угла AOB на угол CDE совпали вершины O и D и стороны OA и DC. Совпали ли углы? Здесь уже совмещены вершины и одна пара сторон, но этого недостаточно для ответа. Нужно проверить, совпадает ли луч OB со вторым лучом DE: именно он задаёт оставшуюся границу угла. Условие не сообщает о таком совпадении, поэтому автоматически считать углы равными нельзя.

1. Отметим, что вершины O и D после наложения находятся в одной точке.
2. Проверим первую пару сторон: OA и DC совпали.
3. Проверим вторую пару: если OB и DE тоже совпали, углы совпали; если нет, углы не равны.

Ответ: по приведённым данным нельзя установить, совпали ли углы; нужно проверить совпадение вторых сторон.

Задача 3. Угол AOB равен углу CDE. Биссектриса OM делит первый угол на два угла по 27°. Найдите углы, на которые делит второй угол его биссектриса. Биссектриса делит угол на две равные части, значит, каждая половина первого угла равна 27°. Поскольку исходные углы равны, их градусные меры одинаковы; биссектриса второго угла также делит его пополам. Следовательно, каждая половина второго угла имеет ту же меру.

1. Найдём меру первого угла: 27° + 27° = 54°.
2. Равный ему угол CDE тоже равен 54°.
3. Биссектриса делит 54° на две равные части: 54° : 2 = 27°.

Ответ: биссектриса второго угла делит его на углы по 27°.

Типичные ошибки

Считать углы равными по виду. На рисунке углы могут казаться одинаковыми из-за масштаба или неточного построения, поэтому зрительное впечатление ненадёжно. Такую ошибку допускают, когда доверяют изображению больше, чем данным. Проверь себя: есть ли измерение, наложение или известное свойство, подтверждающее равенство?

Не проверять вторую сторону при наложении. Совпавшие вершина и один луч ещё не гарантируют совпадения углов: второй луч может оказаться в другом положении. Ошибка возникает, если остановиться после первого совпадения. Проверь, накладывается ли также вторая сторона; только тогда углы совпали целиком.

Путать равенство с одинаковыми обозначениями или расположением. Буквы называют вершины и точки на сторонах, а положение на странице зависит от того, как нарисован чертёж. Поэтому разные записи и разные места на рисунке не мешают углам быть равными. Проверь их градусные меры или возможность совмещения, а не сходство обозначений.

Считать, что равные меры означают одинаковые изображения. Равенство градусных мер говорит о величине углов, но не о том, где и как они нарисованы. Это смешивают, когда воспринимают угол как картинку, а не как геометрическую величину. Проверь себя: поверни или перемести один угол — его мера не изменится, хотя изображение будет выглядеть иначе.

Связь с другими темами

Чтобы разбираться в равенстве углов, нужно знать, что угол образован двумя лучами с общей вершиной, и уметь правильно его обозначать. Также пригодится умение измерять углы транспортиром и сравнивать полученные градусные меры. Равенство углов используют при изучении биссектрисы, параллельных прямых и признаков равенства геометрических фигур. Эти темы помогают применять сравнение углов не только для измерения, но и для решения геометрических задач.

Что запомнить

• Равенство углов можно проверить наложением.
• При наложении равных углов совпадают вершины и соответствующие стороны.
• Равные углы имеют равные градусные меры.
• Углы с равными градусными мерами равны.
• Рисунок сам по себе не доказывает равенство углов.
• Равные углы могут быть расположены по-разному.