3.1. Что называют углом в геометрии. Смежные углы

Определения и обозначения

Угол — геометрическая фигура, образованная двумя лучами с общим началом. Лучи называют сторонами угла, а их общее начало — вершиной. Например, лучи OA и OB с началом O образуют угол. Это определение помогает отличать саму фигуру от одной лишь области между её сторонами.

Стороны задают направление каждой части угла, а вершина показывает, где они начинаются. Угол обозначают тремя буквами: например, ∠AOB. Букву вершины O ставят между буквами A и B, которые указывают на стороны. Такой порядок позволяет понять, какой именно угол имеется в виду.

Смежные углы — это два угла, у которых одна сторона общая, а две другие стороны являются противоположными лучами. Противоположные лучи имеют общее начало и лежат на одной прямой, но направлены в разные стороны. Поэтому смежные углы можно узнать по двум признакам, а не только по наличию общей стороны.

Развёрнутый угол образован двумя противоположными лучами, а его величина равна 180°. Он выглядит как прямая линия с вершиной в одной точке. Это значение нужно, чтобы находить неизвестный угол, смежный с известным.

Как это устроено

Представь два луча, которые выходят из одной точки. Их общее начало называют вершиной, потому что именно в этой точке стороны встречаются и задают угол. Сами лучи становятся сторонами фигуры: каждый из них показывает одно из направлений, ограничивающих угол. Если общего начала нет, эти лучи не образуют угол в принятом здесь смысле.

Для записи угла нужны точки на обеих сторонах и сама вершина. В обозначении ∠AOB сначала называют точку A на одной стороне, затем вершину O, а после неё точку B на другой стороне. Вершину ставят в середину, чтобы запись не перепутали с углом, у которого вершина находится в другом месте. Если у вершины подписана отдельная буква, иногда угол можно обозначить и одной буквой, но запись тремя буквами показывает его стороны.

Чтобы получить смежные углы, возьми прямую и отметь на ней точку O. Из неё проведи ещё один луч: он станет общей стороной двух углов, а части прямой по разные стороны от O будут их остальными сторонами. Эти части — противоположные лучи, поэтому вместе углы заполняют развёрнутый угол. Их внутренние области находятся по разные стороны общей стороны и не пересекаются.

Сумма величин смежных углов равна 180°, потому что оба угла составляют один развёрнутый угол. Общая сторона делит его на две части, а величины этих частей складываются в величину целого. Например, если одна часть равна 70°, то на вторую приходится 110°: 70° + 110° = 180°. Это свойство пригодится и в вычислениях, и при составлении уравнений.

Если величина одного угла известна, вторую находят вычитанием из 180°. Причина в том, что оба угла вместе должны дать ровно 180°, а известная часть уже занимает часть этой величины. Например, при угле 68° остаётся 180° − 68° = 112°. Для проверки сложи найденные значения: результат должен быть 180°.

Угол и смежные углы: основные понятия и свойства

Сначала найди в таблице нужное понятие, затем проверь его признаки по рисунку или условию задачи. Для смежных углов обязательно проверь оба условия: общую сторону и противоположные лучи. Если известна величина одного угла, используй свойство суммы 180°.

Разбор задач

Задача 1. Лучи OA и OB имеют общее начало O. Назовите угол, его стороны и вершину. Здесь важно определить, какие лучи образуют фигуру, и не перепутать их с общей точкой.

1. Общее начало лучей — точка O, значит, она является вершиной.
2. Стороны угла — лучи OA и OB.
3. В обозначении из трёх букв вершина должна находиться посередине, поэтому угол записывают ∠AOB.

Ответ: ∠AOB; стороны — OA и OB, вершина — O.

Задача 2. Один из смежных углов равен 68°. Найдите величину другого. Поскольку углы смежные, их величины вместе составляют 180°, поэтому неизвестный угол — это оставшаяся часть.

1. Запишем свойство: сумма величин смежных углов равна 180°.
2. Вычтем известную величину: 180° − 68° = 112°.
3. Проверим: 68° + 112° = 180°.

Ответ: 112°.

Задача 3. Величины смежных углов равны (3x + 15)° и (2x + 5)°. Найдите x и величины углов. Буква x обозначает число, от которого зависят обе величины, поэтому сначала используем свойство для составления уравнения.

1. Сложим выражения и приравняем их к 180°: (3x + 15) + (2x + 5) = 180.
2. Приведём подобные слагаемые: 5x + 20 = 180, значит, 5x = 160 и x = 32.
3. Подставим найденное значение: 3 · 32 + 15 = 111°, а 2 · 32 + 5 = 69°.
4. Проверим результат: 111° + 69° = 180°.

Ответ: x = 32; величины углов — 111° и 69°.

Типичные ошибки

Иногда углом называют только область между лучами и забывают о самих лучах. Так происходит, потому что в рисунке внимание привлекает именно область. Проверь себя: в ответе должны быть указаны два луча с общим началом, а не одна только область.

В записи ∠AOB некоторые ставят букву вершины не посередине. Из-за этого можно прочитать обозначение как другой угол или неверно определить его вершину. Перед записью назови точки на сторонах, затем поставь между ними букву общего начала.

Общая сторона сама по себе не делает углы смежными. Этот признак легко запомнить, но можно упустить условие о двух остальных сторонах. Проверь, лежат ли они на одной прямой и направлены ли в разные стороны: только тогда это противоположные лучи.

При вычислениях ошибаются, если считают сумму смежных углов не равной 180° или прибавляют известный угол вместо вычитания. Обычно забывают, что известная часть уже входит в развёрнутый угол. Составь равенство: известный угол плюс неизвестный равны 180°, а после вычисления проверь сумму.

Связь с другими темами

Для работы с углами нужно знать, что такое луч, его начало и противоположные лучи, а также уметь измерять углы в градусах. Свойство смежных углов помогает находить неизвестные величины и составлять уравнения. Позже оно пригодится при изучении вертикальных углов и других отношений между углами.

Что запомнить

• Угол образован двумя лучами с общим началом.
• Общее начало сторон угла — его вершина.
• Стороны угла — лучи, образующие этот угол.
• В обозначении ∠AOB буква вершины O стоит между буквами A и B.
• У смежных углов одна общая сторона, а две другие — противоположные лучи.
• Сумма величин смежных углов равна 180°.
• Если один смежный угол равен α°, другой равен (180 − α)°.