§ 3. Углы

Определения и обозначения

Угол — геометрическая фигура, образованная двумя лучами с общей начальной точкой. Например, лучи BA и BC с началом в точке B образуют угол ABC. Угол помогает описывать поворот и взаимное направление лучей, а также становится частью многих геометрических фигур.

Вершина угла — общая начальная точка его сторон. В обозначении тремя буквами вершину ставят посередине: у ∠ABC вершина B. Это правило нужно, чтобы не перепутать точку встречи лучей с точками, лежащими на их сторонах.

Сторона угла — каждый из двух лучей, образующих угол. У угла ABC это лучи BA и BC, оба начинаются в вершине B. Стороны задают границы угла и направление, а область между ними показывает, какую часть плоскости рассматривают.

Градусная мера угла — число градусов, показывающее его величину. Полный оборот принимают за 360°, поэтому угол можно сравнить с долей полного поворота. Мера зависит от раскрытия между сторонами, а не от того, насколько длинными начерчены лучи.

Как это устроено

Чтобы задать угол, достаточно провести два луча из одной точки. Их общая начальная точка становится вершиной, поскольку именно там начинается каждая сторона. Одних лучей недостаточно для полного описания фигуры: нужно учитывать область между ними, иначе можно выбрать не тот угол, особенно если лучи образуют две области.

Угол обозначают одной буквой вершины, тремя буквами или числом. Одной буквы достаточно, если при этой вершине на рисунке рассматривают только один угол; число удобно, когда мера уже известна. Если рядом несколько углов с общей вершиной, используют три буквы: средняя указывает вершину, а две крайние — точки на сторонах. Так обозначение однозначно показывает, какой угол имеется в виду.

Если луч проходит внутри угла, он делит область на две части без наложения. Вместе эти части составляют исходный угол, поэтому их градусные меры складываются: мера целого равна сумме мер частей. Например, если одна часть равна 29°, а весь угол — 74°, оставшаяся часть равна 74° − 29°. Вычитать можно именно потому, что известен целый угол и одна из его частей.

Вид угла определяют по его градусной мере, сравнивая её с 90° и 180°. Мера меньше 90° означает острый угол, ровно 90° — прямой, а число между 90° и 180° — тупой. При мере 180° стороны лежат на одной прямой и направлены в противоположные стороны, поэтому угол называют развёрнутым. Такое сравнение помогает быстро распознавать углы и проверять решения.

Биссектриса — луч, который выходит из вершины и делит угол на два равных угла. Равенство частей является главным условием: любой луч из вершины делит угол, но не обязательно пополам. Чтобы построить биссектрису, нужно провести из вершины луч внутри угла так, чтобы углы по обе его стороны имели одинаковую меру. Тогда мера исходного угла вдвое больше меры каждой части.

Виды углов и их градусные меры

Сначала сравни меру угла с 90°, а затем — с 180°: так легко определить его вид. Границы важны: 90° — прямой, а 180° — развёрнутый, их не относят к острым или тупым. Особенности в последнем столбце помогают связать числовую меру с расположением сторон.

Разбор задач

Задача 1

Дан угол ABC. Назовите его вершину и стороны, а также запишите его другим допустимым обозначением, если на каждой стороне отмечено по одной точке. Буквы A и C обозначают точки на сторонах, а буква B указывает место встречи лучей. Найдём вершину и лучи по записи угла.

1. В обозначении из трёх букв средняя буква показывает вершину, поэтому вершина угла — B.
2. Первая и последняя буквы указывают направления сторон от вершины: это лучи BA и BC.
3. Если на сторонах отмечены другие точки, например D на луче BA и E на луче BC, тот же угол можно обозначить ∠DBE или ∠EBD. Буква B остаётся в середине, поскольку вершина не изменилась.

Ответ: вершина — B, стороны — лучи BA и BC; другое обозначение — ∠DBE (или ∠EBD), если D и E — отмеченные точки на соответствующих сторонах.

Задача 2

Луч OD проходит внутри угла AOB. Найдите градусную меру угла DOB, если ∠AOB = 74°, а ∠AOD = 29°. Нужно найти часть угла, когда известны целый угол и другая часть. Поскольку луч OD проходит внутри, ∠AOD и ∠DOB вместе составляют ∠AOB.

1. Запишем правило сложения частей: ∠AOB = ∠AOD + ∠DOB.
2. Выразим неизвестную часть: ∠DOB = ∠AOB − ∠AOD.
3. Подставим данные и вычислим: ∠DOB = 74° − 29° = 45°. Проверка: 29° + 45° = 74°, значит, части составляют исходный угол.

Ответ: ∠DOB = 45°.

Задача 3

Луч OM — биссектриса угла AOB. Найдите ∠AOB, если ∠AOM = 38°. Определите вид получившегося угла. Биссектриса делит угол на две равные части, поэтому вторая часть тоже равна 38°.

1. Запишем равенство частей: ∠AOM = ∠MOB = 38°.
2. Сложим их, чтобы получить весь угол: ∠AOB = 38° + 38° = 76°.
3. Сравним результат с 90°: 76° меньше 90°, следовательно, угол острый. Удваивать меру нужно потому, что известна только одна из двух равных частей.

Ответ: ∠AOB = 76°, это острый угол.

Типичные ошибки

Иногда вершиной считают первую или последнюю букву записи ABC. Так происходит, если не помнить, что в трёхбуквенном обозначении вершина всегда стоит посередине. Проверь себя: общая начальная точка лучей должна совпасть со средней буквой, здесь это B.

Другая ошибка — считать углом только два луча и забывать про область между ними. Лучи задают стороны, но выбор области важен, если на рисунке можно рассматривать разные углы. Проверь, какая область отмечена или названа в условии, и не выбирай её только по внешнему виду.

Увеличение длины сторон иногда принимают за увеличение угла. Это смешение длины лучей с их направлением: длиннее начерченный луч не означает большее раскрытие. Для проверки сравни расположение сторон или измерь угол транспортиром, а не сравнивай, насколько далеко они проведены.

При нахождении части угла могут сложить меры неподходящих углов. Причина — вычисление без проверки того, где именно проходит внутренний луч. Сначала убедись, что луч находится между сторонами нужного угла и делит его на рассматриваемые части; затем сложи части для целого или вычти известную часть из целого.

Связь с другими темами

Для работы с углами нужны понятия точки, прямой и луча, а также умение обозначать геометрические фигуры. Позже углы помогут изучать смежные и вертикальные углы, треугольники и перпендикулярные прямые. Измерение и построение углов пригодятся в задачах на геометрические построения и доказательство равенства фигур, потому что позволяют точно описывать взаимное расположение элементов.

Что запомнить

• Угол образуют два луча с общей начальной точкой.
• Общая начальная точка лучей называется вершиной угла.
• В обозначении угла вершина трёхбуквенной записи стоит посередине.
• Градусная мера прямого угла равна 90°, а развёрнутого — 180°.
• Мера угла равна сумме мер его частей, если лучи делят его последовательно.
• Биссектриса делит угол на два равных угла.
• Вид угла определяют по его градусной мере.