2.6. Сферическая геометрия

Определения и обозначения

Сфера — поверхность, все точки которой находятся на одинаковом расстоянии от одной точки — центра сферы. Это расстояние называют радиусом. Сферу можно представить как внешнюю поверхность мяча, не включая его внутреннюю часть. Понятие сферы нужно, чтобы точно говорить о фигурах и расстояниях на её поверхности.

Большой круг — окружность, по которой сферу пересекает плоскость, проходящая через центр сферы. Например, экватор делит земной шар на две равные части и является большим кругом. Другие окружности на сфере могут быть меньше: их плоскости не проходят через центр. Это различие помогает находить линии кратчайших путей.

Сферическая линия — часть большого круга, рассматриваемая как кратчайший путь между точками сферы. Она похожа на прямую на плоскости тем, что даёт кратчайший путь по поверхности, но сама изогнута в пространстве. Чтобы найти такую линию, нужно выбрать проходящий через центр круг, который содержит обе точки. Это понятие используют при описании маршрутов на глобусе.

Сферический треугольник — часть сферы, ограниченная дугами трёх больших кругов. Дуги соединяют три вершины и образуют замкнутую фигуру. В отличие от обычного треугольника, его стороны не прямые отрезки, а линии на поверхности сферы. Такое определение позволяет изучать треугольники на Земле и других сферических поверхностях.

Как это устроено

Возьмём плоскость, проходящую через центр сферы. Точки пересечения этой плоскости со сферой находятся и в самой плоскости, и на одинаковом расстоянии от центра, поэтому образуют окружность с центром в центре сферы. Если изменить положение плоскости, сохранив прохождение через центр, получится другой большой круг. Плоскость большого круга делит сферу на две половины: отражение одной половины относительно этой плоскости совпадает с другой, поэтому части равны.

На плоскости кратчайшим путём между точками служит прямой отрезок, но на сфере он проходит сквозь внутреннюю часть, а не по поверхности. Чтобы двигаться именно по поверхности, выбирают плоскость через центр сферы и обе заданные точки. Её пересечение со сферой — большой круг, а путь между точками идёт по одной из его дуг. Для не противоположных точек меньшая дуга короче большей и даёт кратчайший путь; у противоположных точек есть несколько равных кратчайших дуг.

Три точки на сфере можно соединить дугами больших кругов, и эти дуги образуют границу сферического треугольника. Каждая сторона получается как часть окружности, плоскость которой проходит через центр сферы. Поэтому сторона изогнута, если смотреть на неё в пространстве, хотя на самой сферической поверхности это естественная линия. Точки должны быть выбраны так, чтобы дуги действительно замыкали область; обычно берут дуги короче полуокружности.

Угол сферического треугольника расположен в точке, где встречаются две стороны. Чтобы его измерить, проводят касательные к дугам в этой точке и берут угол между касательными, лежащими в касательной плоскости к сфере. Такой способ задаёт угол между направлениями сторон именно у вершины. У плоского треугольника сумма углов всегда равна 180°, а у сферического она больше 180°: искривление поверхности влияет на то, как сходятся стороны. Например, три стороны могут встретиться так, что все три угла будут прямыми.

На глобусе экватор — большой круг, потому что его плоскость проходит через центр Земли. Плоскость каждого меридиана также содержит ось Земли и её центр, поэтому полный круг, составленный из двух противоположных меридианов, является большим кругом; один меридиан — его половина. Такие линии удобны для построения маршрутов: кратчайший путь по поверхности между городами идёт по дуге большого круга. На плоской карте эта дуга часто выглядит кривой, потому что поверхность шара отображена на плоскость с искажениями.

Плоская и сферическая геометрия

Сравнивайте строки таблицы по одной: так видно, какие свойства зависят от поверхности. В задачах сначала определите, где расположена фигура — на плоскости или на сфере, — и только потом выбирайте правило. Например, для сферического маршрута ищут дугу большого круга, а не прямой отрезок на карте.

Разбор задач

Задача 1. На глобусе отмечены экватор и один меридиан. Определите, какие из этих линий являются большими кругами. Проверять нужно не внешний вид линии, а положение плоскости, в которой она лежит. Учтите, что меридиан на глобусе обычно изображён как дуга от полюса до полюса.

1. Для экватора рассмотрим плоскость, параллельную экватору. Она проходит через центр Земли, поэтому экватор является большим кругом.
2. Плоскость меридиана проходит через ось Земли, а значит, через центр Земли. Полный круг в этой плоскости, дополненный противоположным меридианом, — большой круг.
3. Сам отмеченный меридиан составляет половину этого круга, поэтому его правильно называть половиной большого круга, а не полной окружностью.

Ответ: экватор — большой круг; меридиан является его половиной, а вместе с противоположным меридианом образует большой круг. Если на схеме словом «меридиан» обозначена полная окружность, состоящая из двух таких половин, она тоже большой круг. Критерий в обоих случаях один: плоскость линии должна проходить через центр сферы.

Задача 2. На сфере заданы две точки, не являющиеся диаметрально противоположными. Укажите, по какой дуге большого круга проходит кратчайший путь между ними. Здесь не нужно искать прямой отрезок: он ушёл бы внутрь сферы. Надо сравнить два пути по окружности, проходящей через обе точки.

1. Проведём через центр сферы и обе точки плоскость. Она пересечёт сферу по большому кругу.
2. Точки разделят этот круг на две дуги. Одна дуга короче другой, поскольку точки не противоположны и дуги не равны.
3. Путь по меньшей дуге короче, чем по большей; среди путей по сфере он является кратчайшим.

Ответ: кратчайший путь проходит по меньшей дуге большого круга, соединяющей точки. Именно поэтому маршруты между удалёнными городами часто прокладывают по дугам больших кругов. На плоской карте такая дуга может быть изображена не прямой линией.

Задача 3. Сферический треугольник имеет углы 90°, 90° и 90°. Объясните, почему он возможен и чем отличается от плоского треугольника. Сначала сложим углы, затем сопоставим результат с правилом для обычных треугольников. Так станет ясно, почему плоское ограничение здесь не подходит.

1. Сумма заданных углов равна 90° + 90° + 90° = 270°.
2. Сферический треугольник образован дугами больших кругов, а углы измеряются между касательными к сторонам в вершинах.
3. На сфере сумма углов может быть больше 180°, поэтому 270° не противоречит свойствам сферического треугольника.

Ответ: такой треугольник возможен, потому что он расположен на искривлённой поверхности и его стороны являются дугами. У плоского треугольника сумма углов всегда равна 180°, поэтому треугольник с тремя прямыми углами на плоскости невозможен. На сфере же сумма равна 270° и превышает 180°.

Типичные ошибки

Называть большим кругом любую окружность на сфере — ошибка: большая окружность получается только при сечении плоскостью через центр. Её допускают, если судят по размеру или рисунку, не учитывая положение плоскости. Проверьте мысленно, проходит ли плоскость окружности через центр; если нет, круг малый. Например, параллели, кроме экватора, не являются большими кругами.

Считать прямой отрезок кратчайшим путём между точками сферы — тоже неверно, если требуется идти по поверхности. Отрезок проходит внутри шара, а не по сфере, поэтому сравнивать его с поверхностным маршрутом нельзя. Проверьте, остаётся ли весь путь на поверхности. Для двух не противоположных точек ищите меньшую дугу большого круга.

Сферический треугольник не следует принимать за обычный плоский: его стороны — дуги больших кругов, а сумма углов больше 180°. Путаница возникает из-за общего названия «треугольник» и привычного свойства плоской фигуры. Уточните, на какой поверхности лежит фигура, и проверьте, прямые ли её стороны или дуги. Правило о сумме 180° относится к плоскому треугольнику.

Угол сферического треугольника нельзя определять просто как угол между изгибающимися дугами без уточнения способа измерения. Вершина задаёт точку, где стороны встречаются, и в этой точке к дугам проводят касательные. Проверка проста: сравните направления касательных в вершине, а не форму дуг вдали от неё. Так получают обычный угол между направлениями сторон.

Связь с другими темами

Для изучения сферической геометрии нужны понятия сферы, окружности, плоскости и угла. Полезно также понимать, как плоскость пересекает тело: именно сечение плоскостью через центр даёт большой круг. Эти знания связывают стереометрию с геометрией фигур на поверхности. Они помогают не смешивать линии на сфере с отрезками внутри шара.

Сферическая геометрия применяется в географии, навигации и построении маршрутов на глобусе. Она объясняет, почему кратчайший путь между удалёнными точками Земли прокладывают по дуге большого круга. При переносе такого пути на плоскую карту его вид меняется из-за искажений изображения. Поэтому карта и глобус могут показывать один маршрут по-разному.

Что запомнить

• Большой круг получается при пересечении сферы плоскостью через её центр.
• Экватор и полный круг, образованный парой противоположных меридианов, являются большими кругами.
• Кратчайший путь по сфере между не противоположными точками проходит по меньшей дуге большого круга.
• Стороны сферического треугольника — дуги больших кругов.
• Углы сферического треугольника измеряют между касательными к его сторонам в вершине.
• Сумма углов сферического треугольника больше 180°.