§ 33. Сферическая геометрия

Определения и обозначения

Сфера — поверхность, все точки которой находятся на одинаковом расстоянии от центра. Это расстояние называют радиусом и обозначают R. В отличие от шара, сфера не содержит внутренность: мяч как тело — шар, а его оболочка — сфера.

Большой круг — окружность, полученная при пересечении сферы плоскостью, проходящей через её центр. Радиус такого круга равен радиусу сферы. Большие круги нужны, потому что их дуги задают основные кратчайшие линии на поверхности.

Сферическое расстояние — длина кратчайшей дуги большого круга между двумя точками сферы. Если центральный угол между радиусами к этим точкам равен α радиан, то расстояние равно s = Rα. Так можно находить, например, длину маршрута по поверхности Земли.

Сферический треугольник — фигура на сфере, ограниченная тремя дугами больших кругов. Эти дуги называют сторонами, а точки их пересечения — вершинами. В отличие от плоского треугольника, его стороны не являются отрезками и лежат на искривлённой поверхности.

Как это устроено

В плоскости кратчайшая линия между двумя точками — отрезок прямой, а на сфере поверхность не содержит обычных прямых. Если через центр сферы и две точки провести плоскость, она пересечёт сферу по большому кругу. Поэтому дуга этого круга играет роль прямой: среди путей по поверхности она имеет наименьшую длину, если выбрать меньшую дугу.

Длину дуги находят из свойства окружности: вся окружность соответствует углу 2π радиан. Дуга, которой соответствует угол α, составляет долю α/(2π) от длины 2πR, поэтому s = Rα. Градусную меру нужно предварительно перевести: α = βπ/180°, где β — угол в градусах.

Угол сферического треугольника нельзя определять как угол между радиусами к концам его сторон. В вершине к каждой стороне проводят касательную к соответствующему большому кругу, и угол между этими касательными называют сферическим углом. Такое определение показывает, как выглядел бы угол для наблюдателя, находящегося на поверхности.

На сфере сумма углов треугольника больше 180°, потому что поверхность имеет положительную кривизну. Превышение обозначают E и называют сферическим избытком: E = A + B + C − π, если углы измерены в радианах. Чем больше область треугольника на сфере, тем заметнее искривление сторон и тем больше E.

Евклидова геометрия описывает плоские фигуры, а сферическая — фигуры на искривлённой поверхности. Два разных больших круга всегда пересекаются в двух противоположных точках, поэтому параллельных больших кругов нет. Из-за этого меняются привычные свойства треугольников: сумма углов не равна постоянным 180°, а стороны являются дугами.

Плоские и сферические геометрические объекты

Таблицу удобно использовать для перевода знакомых плоских понятий на язык сферы. Сначала находят аналог объекта, затем проверяют, изменилось ли его ключевое свойство. Особенно внимательно нужно сравнивать расстояния и углы: именно здесь различия проявляются сильнее всего.

Разбор задач

Задача 1

Радиус Земли равен R, центральный угол между точками экватора — 60°. Требуется найти длину дуги экватора. Поскольку угол задан в градусах, сначала переведём его в радианы.

1. α = 60° · π/180° = π/3.
2. Используем формулу длины дуги: s = Rα.
3. Получаем s = R · π/3 = πR/3.

Ответ: длина дуги равна πR/3.

Задача 2

Углы сферического треугольника равны 90°, 100° и 110°. Сферический избыток показывает, насколько их сумма превышает 180°. Поэтому достаточно сложить углы и вычесть 180°.

1. A + B + C = 90° + 100° + 110° = 300°.
2. E = 300° − 180° = 120°.
3. Если избыток нужен в формуле площади, переводим его в радианы: E = 120° · π/180° = 2π/3.

Ответ: сферический избыток равен 120°, или 2π/3 радиана.

Задача 3

Радиус сферы равен R, а углы треугольника те же: 90°, 100° и 110°. Для площади используется формула S = R²E, поэтому сначала берём избыток именно в радианах. Из предыдущего вычисления E = 2π/3.

1. Сумма углов: 300°.
2. Сферический избыток: 300° − 180° = 120° = 2π/3.
3. Подставляем в формулу площади: S = R² · 2π/3.

Ответ: площадь треугольника равна 2πR²/3.

Типичные ошибки

Считать сферу шаром. Ошибка появляется, когда поверхность и тело называют одним словом. Проверьте себя вопросом: учитываются ли внутренние точки; если да, речь идёт о шаре.

Называть большим кругом любую окружность на сфере. Обычная окружность получается сечением плоскостью, не проходящей через центр. Убедиться в правильности можно по радиусу: у большого круга он равен R.

Измерять сферическое расстояние по произвольной дуге. Такой путь может быть длиннее кратчайшего. Проверьте, лежит ли дуга на большом круге и выбрана ли меньшая из двух дуг между точками.

Применять сумму углов 180°. Это свойство плоского треугольника, а не сферического. Если углы даны в сферической задаче, их сумма должна быть больше 180°, а разность с 180° даст избыток.

Связь с другими темами

Для сферической геометрии нужны знания об окружности, центральном угле, длине дуги и переводе градусов в радианы. Эти понятия позволяют вывести формулу s = Rα.

Сферические расстояния применяются в географии, навигации и расчёте маршрутов по поверхности Земли. Вместо плоского расстояния между городами используют дугу большого круга.

Формула площади S = R²E связывает сферическую геометрию с площадями поверхностей и пространственными фигурами. Она показывает, как геометрические свойства поверхности зависят от её радиуса.

Что запомнить

• Сферой называют поверхность, а не тело вместе с внутренностью.
• Большой круг образуется плоскостью, проходящей через центр сферы.
• Кратчайший путь по сфере проходит по дуге большого круга.
• Длина дуги равна произведению радиуса на центральный угол в радианах.
• Сумма углов сферического треугольника больше 180°.
• Сферический избыток связан с площадью сферического треугольника.