"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия (углублённый уровень)", Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И.
Внутренняя геометрия сферы описывает измерения, которые можно выполнить, не покидая её поверхности: расстояния вдоль неё и кратчайшие пути. Такие пути — дуги больших кругов, то есть окружностей, полученных сечением сферы плоскостью через её центр. Длина дуги равна произведению радиуса на центральный угол в радианах. Эти правила помогают находить расстояния по поверхности Земли и объясняют, почему сферические маршруты устроены не так, как прямые на плоскости.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Внутренняя геометрия поверхности — геометрия, в которой расстояния и углы измеряют непосредственно на поверхности, не опираясь на её окружение. Например, на сфере рассматривают путь, проложенный по её оболочке, а не через внутреннюю часть. Это понятие нужно, чтобы отделять измерения на поверхности от обычных пространственных измерений.
Геодезическая линия — кратчайший путь между достаточно близкими точками поверхности. На сфере такими линиями служат дуги больших кругов. Понятие геодезической позволяет говорить о кратчайшем маршруте, даже если поверхность не плоская.
Большой круг — окружность, полученная при пересечении сферы плоскостью, проходящей через её центр. Дуги больших кругов являются геодезическими сферы. Большой круг нужен, чтобы описать линии, вдоль которых измеряют кратчайшее расстояние по поверхности.
Расстояние на сфере — длина кратчайшей дуги большого круга между точками. Если радиус сферы равен R, а соответствующий центральный угол измерен в радианах и равен α, то расстояние вычисляют по формуле s = Rα. Эта формула связывает размер сферы и угол между радиусами, проведёнными к концам дуги.
В обычной геометрии расстояние между точками часто задают прямым отрезком. Но если двигаться разрешено только по поверхности, такой отрезок может проходить сквозь неё и не описывает допустимый путь. Поэтому во внутренней геометрии сравнивают длины маршрутов, целиком лежащих на поверхности. Кратчайший из них и задаёт расстояние между точками.
Большой круг выделяется тем, что его плоскость проходит через центр сферы. Если соединить центр с концами дуги радиусами, они окажутся в той же плоскости, а угол между ними задаст дугу. Дуги малых кругов не дают кратчайшего пути: их плоскости не проходят через центр, поэтому движение по такой окружности отклоняется от направления, соединяющего точки наиболее коротким путём. Например, параллели Земли, кроме экватора, являются малыми кругами.
Центральный угол показывает, какую часть окружности проходит дуга: полный круг соответствует углу 2π радиан. Длина всей окружности радиуса R равна 2πR, поэтому на один радиан приходится длина R. Значит, дуга, соответствующая углу α радиан, имеет длину s = Rα. Здесь угол обязательно берут в радианах: градусное число напрямую в формулу подставлять нельзя.
Две точки сферы вместе с её центром задают одну плоскость, если точки не диаметрально противоположны и не совпадают. Эта плоскость пересекает сферу по единственному большому кругу, поэтому через такие точки проходит одна дуга большого круга наименьшей длины. У диаметрально противоположных точек радиус-векторы лежат на одной прямой, и через эту прямую можно провести бесконечно много плоскостей. Каждая даст свой большой круг через обе точки.
На плоскости параллельные прямые не пересекаются, и через точку вне прямой можно провести параллельную ей прямую. Для больших кругов сферы аналогичного правила нет: плоскости любых двух больших кругов проходят через общий центр и пересекаются по прямой. Концы этой прямой на сфере являются общими точками кругов. Поэтому любые два больших круга пересекаются, а параллельных больших кругов не существует.
В таблице сопоставлены привычная геометрия плоскости и геометрия сферы. Сферический аналог прямой здесь — большой круг, а расстояние измеряется по его дуге. Используйте сравнение, чтобы видеть, какие свойства прямых переносятся на сферу, а какие меняются.
| Свойство | Плоскость | Сфера |
|---|---|---|
| Кратчайший путь между близкими точками | Отрезок прямой | Дуга большого круга |
| Как задаётся прямая или её сферический аналог | Прямая задаётся точкой и направлением | Большой круг задаётся плоскостью через центр сферы |
| Возможность провести единственную линию через две точки | Через две различные точки проходит единственная прямая | Для не противоположных точек большой круг единственный; для противоположных — их бесконечно много |
| Существование параллельных линий | Параллельные прямые существуют | Параллельных больших кругов нет |
| Как измеряется расстояние между точками | Длиной отрезка между ними | Длиной кратчайшей дуги большого круга |
Условие. Найти длину дуги большого круга на сфере радиуса 6 см, если центральный угол равен π/3. Угол уже задан в радианах, поэтому его можно сразу использовать в формуле длины дуги. Искомое значение будет выражено в сантиметрах.
Ответ: 2π см, или приблизительно 6,28 см. Радиус умножается на угол, потому что угол в радианах показывает, сколько радиусов укладывается в длине дуги.
Условие. Две точки на сфере не являются диаметрально противоположными. Требуется определить линию кратчайшего пути и выяснить, единственна ли она. Радиус сферы и величина угла для качественного ответа не нужны.
Ответ: кратчайший путь проходит по дуге большого круга и единственен. Если бы точки были противоположными, через них можно было бы провести множество больших кругов.
Условие. На сфере радиуса 10 см две точки лежат на большом круге, а меньший центральный угол между ними равен 2,4 радиана. Нужно найти расстояние по сфере и сравнить его с длиной прямого отрезка между точками. Этот отрезок является хордой и проходит внутри сферы.
Ответ: расстояние по сфере равно 24 см; хорда короче и составляет примерно 18,64 см. Это не противоречие: хорда измеряет путь сквозь пространство, а дуга — путь по поверхности.
Подмена дуги хордой. Иногда кратчайшим называют прямой отрезок между точками, потому что в пространстве именно он имеет наименьшую длину. Но хорда проходит внутри сферы, а путь во внутренней геометрии должен оставаться на поверхности. Проверьте себя: если маршрут пересекает внутреннюю часть сферы, это не расстояние по сфере.
Любая окружность считается геодезической. Так думают, потому что и большие, и малые круги являются окружностями на сфере. Однако кратчайшие пути задаются дугами больших кругов, а малый круг не проходит через центр сферы. Чтобы проверить линию, выясните, проходит ли плоскость окружности через центр.
Угол в градусах подставляют в s = Rα. Это происходит, если забыть, что формула использует радианную меру. Например, 60° нужно заменить на π/3, а не подставлять число 60. Перед вычислением проверьте единицы угла: если это градусы, сначала переведите их в радианы.
Через любые две точки предполагают единственную геодезическую. Для обычных точек действительно получается единственный большой круг, но диаметрально противоположные точки лежат на бесконечном множестве больших кругов. Ошибку помогает заметить проверка: если точки являются концами одного диаметра, плоскость через этот диаметр можно поворачивать вокруг него. Значит, единственности нет.
Для изучения внутренней геометрии сферы понадобятся понятия окружности и сферы, центрального угла, радианной меры угла, длины дуги и хорды. Формула s = Rα опирается на знакомое правило длины дуги, но применяет его к дуге большого круга. Различие между хордой и дугой помогает не смешивать расстояние в пространстве с расстоянием по поверхности.
Эти идеи используются при изучении сферических треугольников, чьи стороны являются дугами больших кругов. Они также применяются в навигации: кратчайший маршрут между далёкими точками на поверхности Земли часто прокладывают по большой окружности. Поэтому геометрия сферы помогает понимать, почему такой маршрут на карте может выглядеть изогнутым.
Что означает выражение «внутренняя геометрия сферы»?
Это геометрия измерений, выполняемых вдоль поверхности сферы: например, расстояний между точками и углов между направлениями на поверхности. Прямая хорда внутри сферы таким расстоянием не считается.
Почему кратчайший путь по сфере проходит по большому кругу?
Большой круг лежит в плоскости, проходящей через центр сферы, а его дуга соединяет точки по поверхности кратчайшим путём. Дуга малого круга отклоняется от такого направления и оказывается длиннее.
Чем дуга большого круга отличается от хорды?
Дуга лежит на поверхности сферы, а хорда — это прямой отрезок внутри неё. Поэтому дуга задаёт расстояние по сфере, а хорда — расстояние между точками в окружающем пространстве.
Почему через диаметрально противоположные точки проходит много больших кругов?
Такие точки являются концами одного диаметра. Через этот диаметр можно провести бесконечно много плоскостей, и каждая из них пересечёт сферу по большому кругу.
Почему на сфере нельзя провести параллельные большие круги?
Любые две плоскости, проходящие через центр сферы, пересекаются по прямой через этот центр. Поэтому соответствующие большие круги имеют общие точки на концах этой прямой и не могут быть параллельными.
33.1. Внутренняя геометрия сферы
