"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия (углублённый уровень)", Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И.
Сферический многоугольник — часть поверхности сферы, ограниченная дугами больших окружностей. Его стороны и углы подчиняются не плоской, а сферической геометрии: сумма углов обычно больше суммы углов обычного многоугольника. Главный результат параграфа — площадь равна произведению квадрата радиуса сферы на сферический избыток. Формула позволяет находить площади по одним углам, если известен радиус.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Сферический многоугольник — часть сферы, ограниченная дугами больших окружностей. Для обычного многоугольника выбирают область без самопересечений, чтобы каждая точка границы и внутренней части была определена однозначно. Это позволяет говорить о его вершинах, сторонах и площади.
Сферический угол — угол между касательными к двум дугам в их общей вершине. Он равен углу между плоскостями, проходящими через центр сферы и содержащими соответствующие большие окружности. Такое описание связывает углы на сфере с обычными пространственными углами.
Сферический избыток — превышение суммы углов сферического многоугольника над суммой углов соответствующего плоского многоугольника. Для n-угольника E = сумма углов − (n − 2)π. Величина E показывает, насколько кривизна сферы изменила угловую сумму.
Площадь сферического многоугольника — площадь части поверхности сферы, ограниченной его сторонами. Она зависит от радиуса R и сферического избытка E: S = R²E. Поэтому одинаковые углы на сферах разного радиуса дают разные площади.
Через центр сферы и любую дугу, соединяющую две точки поверхности, можно провести плоскость. Её пересечение со сферой является большой окружностью, то есть окружностью максимального радиуса; именно её дуга служит кратчайшей естественной границей между точками. Поэтому стороны сферического многоугольника выбирают среди дуг больших окружностей, а не произвольных кривых. Плоскости таких окружностей пересекаются по прямым через центр сферы, и углы между плоскостями задают сферические углы.
Проведём из одной вершины сферического n-угольника диагонали к всем несоседним вершинам. Они разбивают область на n − 2 сферических треугольника, потому что каждая новая диагональ отсекает ещё один треугольник. Внутренний угол исходного многоугольника складывается из углов получившихся треугольников при этой вершине. Поэтому площади частей можно сложить, а сумму углов — аккуратно собрать обратно.
Для сферического треугольника с углами A, B и C площадь выражается так: S = R²(A + B + C − π). Если сложить формулы для n − 2 треугольников, внутренние углы на диагоналях сократятся попарно. Останется сумма углов исходного многоугольника, а вместо π появится (n − 2)π, поэтому S = R²(сумма углов − (n − 2)π).
Радиус входит в формулу как R², поскольку при подобном увеличении сферы все поверхностные размеры меняются по закону квадрата масштаба. При этом углы не меняются: они определяются взаимным расположением плоскостей больших окружностей, а не их размером. Для сферической луны две полуокружности образуют два угла α, и формула треугольника переходит в частный результат S = 2R²α.
| Фигура | Число сторон | Сумма углов | Площадь |
|---|---|---|---|
| Сферический треугольник | 3 | A + B + C | R²(A + B + C − π) |
| Сферический n-угольник | n ≥ 3 | сумма углов | R²(сумма углов − (n − 2)π) |
| Сферическая луна | 2 | два угла по α | 2R²α |
В таблице сначала находят нужную сумму углов, а затем сравнивают её с плоской нормой. Все углы перед подстановкой в формулу площади должны быть выражены в радианах. Для многоугольника достаточно умножить полученный избыток на R².
Строка о сферической луне рассматривается отдельно: у неё две стороны, поэтому к ней не применяют напрямую правило для n ≥ 3. Удобно проверять результат по единицам: при радиусе в сантиметрах площадь должна быть выражена в квадратных сантиметрах.
Задача 1. На сфере радиуса R углы сферического треугольника равны 80°, 100° и 120°. Найдём его площадь через сферический избыток.
Ответ: S = 2πR²/3.
Задача 2. Сферический четырёхугольник на сфере радиуса 6 см имеет углы 100°, 110°, 120° и 130°. Сначала определим, насколько их сумма превышает 360°.
Ответ: 20π см².
Задача 3. Пятиугольник разбит диагоналями из одной вершины на три сферических треугольника. Пусть радиус сферы равен R, а углы треугольников известны. Обозначим их суммы через T₁, T₂ и T₃.
Ответ: оба способа дают одну и ту же площадь, S = R²(A − 3π).
Градусы вместо радианов. Иногда избыток оставляют, например, равным 100°, и умножают его на R². Формула использует радианную меру, поэтому нужно умножить градусное значение на π/180. Проверка: ответ должен содержать π, если избыток не равен удобному радианному числу.
Вычитание nπ. У сферического n-угольника сравнивают сумму с плоской нормой (n − 2)π, а не с nπ. Ошибка возникает из-за смешения числа сторон и числа треугольников при разбиении. Проверьте случай треугольника: должно получаться A + B + C − π.
Потеря множителя R². Иногда в ответе оставляют только E или умножают его на R. Так делать нельзя, потому что площадь масштабируется как квадрат длины. Сверьте единицы: при R в сантиметрах итог должен иметь единицу см².
Смешение избытка и площади. Сферический избыток — угловая величина, а не площадь поверхности. Он становится площадью только после умножения на R². Если при изменении радиуса результат не меняется, значит, этот множитель пропущен.
Для изучения темы нужны большая окружность, дуга, радианная мера угла и площадь поверхности сферы. Большая окружность играет на сфере роль прямой линии, а радианы позволяют использовать формулы без дополнительного перевода единиц. Эти понятия связывают геометрию на сфере с обычной планиметрией и стереометрией.
Формула площади нужна при вычислении областей на глобусе и картографических сетках. Она также применяется в задачах сферической геометрии, навигации и астрономии, где направления и расстояния рассматривают на поверхности Земли или небесной сферы. Угловые данные в таких задачах часто известны точнее, чем границы области.
Почему сумма углов сферического треугольника может быть больше 180°?
Его стороны лежат на поверхности сферы и являются дугами больших окружностей, поэтому треугольник не является плоским. Из-за кривизны сферы сумма его углов равна π плюс положительный сферический избыток.
Нужно ли переводить углы в радианы перед вычислением площади?
Да, нужно. Формула S = R²E использует угловые величины в радианах, поэтому градусный избыток переводят умножением на π/180.
Почему в формуле площади появляется квадрат радиуса сферы?
При увеличении радиуса в k раз все длины на сфере увеличиваются в k раз, а площадь — в k² раз. Поэтому коэффициентом при сферическом избытке служит R².
Как найти площадь сферического многоугольника, если известны только его углы?
Сначала складывают углы, вычитают (n − 2)π и получают сферический избыток E. Затем используют формулу S = R²E, поэтому радиус сферы также необходим.
Чем сферическая луна отличается от обычного сферического многоугольника?
Сферическая луна ограничена двумя полуокружностями больших окружностей, имеющими общие концы, поэтому у неё две стороны. Для угла α её площадь равна 2R²α.
33.2. Сферические многоугольники и их площадь
