33.3. Сферические многоугольники и многогранные углы

Определения и обозначения

Сферический многоугольник — часть сферы, ограниченная дугами больших кругов. Большой круг получается при пересечении сферы плоскостью, проходящей через её центр. Вершины сферического многоугольника — точки соединения дуг, а его стороны — сами дуги; такое описание позволяет связать фигуру на сфере с пространственным углом.

Сферический угол — угол между касательными к сторонам сферического многоугольника, проведёнными в его вершине. Касательные лежат в касательной плоскости к сфере и задают величину угла независимо от выбранного радиуса. Это определение нужно, чтобы измерять углы сферической фигуры и сопоставлять их с двугранными углами.

Многогранный угол — фигура, образованная несколькими плоскими углами с общей вершиной и попарно пересекающимися сторонами. Эти плоские углы образуют грани, а общие стороны служат рёбрами многогранного угла. Такое представление помогает описывать, как направления рёбер и взаимное положение граней отражаются на сфере.

Сферический многоугольник многогранного угла — сечение этого угла сферой, центр которой находится в его вершине. Точки пересечения сферы с рёбрами становятся вершинами многоугольника, а пересечения с гранями — его сторонами. Поэтому сферическое сечение позволяет изучать строение многогранного угла с помощью фигуры на поверхности сферы.

Как это устроено

Поместим центр сферы в вершину многогранного угла и рассмотрим его пересечение со сферой. Каждый луч-ребро выходит из центра и встречает сферу в одной точке, поэтому на поверхности появляются вершины сферического многоугольника. Грань многогранного угла лежит в плоскости, проходящей через центр сферы, а такая плоскость пересекает сферу по большому кругу; участок пересечения внутри грани и становится стороной.

Сторона сферического многоугольника является дугой большого круга именно потому, что соответствующая грань проходит через центр сферы. В этой грани два соседних ребра образуют плоский угол, а его величина равна угловой мере заключённой между ними дуги. Если радиус сферы равен R, а угол равен α радианам, длина дуги составляет Rα; значит, длина зависит от радиуса, а угловая мера — нет.

Угол сферического многоугольника задаётся касательными к двум соседним сторонам в общей вершине. Эти касательные направлены так же, как следы двух граней в плоскости, касательной к сфере в этой точке. Поэтому величина сферического угла совпадает с величиной двугранного угла между соответствующими гранями; плоские углы при вершине многогранного угла при этом относятся к сторонам-дугам, а не к углам сферической фигуры.

У плоского n-угольника сумма внутренних углов равна (n − 2)π, но на сфере это равенство не действует. Стороны сферического многоугольника изгибаются вместе с поверхностью, поэтому его углы охватывают область, которая не сводится к плоскому многоугольнику. Для выпуклого сферического многоугольника сумма углов превышает (n − 2)π; разность называют сферическим избытком.

Площадь сферического многоугольника на сфере радиуса R выражается через его избыток E формулой S = R²E. Избыток здесь измеряют в радианах, поэтому и углы в вычислениях должны быть записаны в радианной мере. Для треугольника сумма плоских углов равна π, так что E = A + B + C − π; чем больше избыток, тем больше площадь соответствующей части сферы.

Связь сферического многоугольника с многогранным углом

Сопоставляйте элементы в таблице, чтобы не перепутать плоские углы при вершине с двугранными углами граней. Если известны длины дуг и радиус, по ним восстанавливают плоские углы; если известны углы сферического многоугольника, получают двугранные углы. Площадь находят отдельно — по сумме углов и радиусу сферы.

Разбор задач

Задача 1. На единичной сфере сферический треугольник имеет углы π/2, π/3 и π/4. Найдём его площадь. Поскольку радиус равен единице, площадь численно совпадает со сферическим избытком.

1. Сложим углы: π/2 + π/3 + π/4 = 6π/12 + 4π/12 + 3π/12 = 13π/12.
2. Для треугольника вычтем π: E = 13π/12 − π = π/12. Это положительный избыток, как и должно быть у сферического треугольника.
3. Используем формулу S = R²E. При R = 1 получаем S = 1² · π/12 = π/12.

Ответ: площадь равна π/12.

Задача 2. Сферический четырёхугольник на сфере радиуса 3 имеет углы π/2, 2π/3, π и 5π/6. Найдём площадь соответствующей части сферы. Для четырёхугольника сумма углов плоского аналога равна (4 − 2)π = 2π.

1. Приведём углы к знаменателю 6: 3π/6 + 4π/6 + 6π/6 + 5π/6 = 18π/6 = 3π.
2. Вычтем сумму углов плоского четырёхугольника: E = 3π − 2π = π. Так получаем избыток в радианах.
3. Подставим радиус в формулу площади: S = R²E = 3² · π = 9π.

Ответ: площадь равна 9π.

Задача 3. Стороны сферического треугольника на единичной сфере имеют длины π/3, π/4 и π/6. Определим плоские углы многогранного угла и выясним, что можно узнать о двугранных углах. При единичном радиусе длина дуги равна её угловой мере в радианах.

1. Сопоставим каждой стороне дуги соответствующий плоский угол многогранного угла. Поэтому эти углы равны π/3, π/4 и π/6.
2. Углы самого сферического треугольника соответствовали бы двугранным углам многогранного угла, а не найденным плоским углам. В условии их величины не даны.
3. Следовательно, численно определить двугранные углы по одним длинам сторон нельзя. Для этого нужно дополнительно знать углы сферического треугольника либо иметь сведения, позволяющие их вычислить.

Ответ: плоские углы равны π/3, π/4 и π/6; данных для нахождения двугранных углов недостаточно.

Типичные ошибки

Первая ошибка — считать, что сумма углов сферического треугольника равна π. Так переносят на сферу известное свойство плоского треугольника, хотя поверхность сферы искривлена. Проверьте вычисления: для сферического треугольника сумма должна быть больше π, а разность с π — положительной.

Вторая ошибка — отождествлять длину дуги с её угловой мерой. Их численные значения совпадают только при радиусе 1, поэтому такое совпадение нельзя переносить на любую сферу. Проверка: длина дуги равна Rα, и при изменении радиуса она меняется, тогда как α остаётся прежним.

Третья ошибка — сопоставлять плоские углы многогранного угла с углами сферического многоугольника. Причина в том, что обе величины называются углами, но относятся к разным элементам. Сверьтесь с геометрией сечения: плоский угол задаёт дугу стороны, а угол сферического многоугольника соответствует двугранному углу.

Четвёртая ошибка — забывать множитель R² в формуле площади или подставлять углы в градусах. Формула S = R²E учитывает масштаб сферы, а избыток должен быть выражен в радианах. Перед вычислением проверьте радиус и переведите градусы в радианы; например, 180° = π.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны понятия большого круга, угловой меры дуги и радиана, а также формула длины дуги: l = Rα. Формула площади сферического многоугольника опирается на представление о площади и масштабе сферы через R². Связь с многогранными углами помогает переходить от геометрии на поверхности к строению пространственных фигур.

Сечение сферы показывает, как направления рёбер и грани многогранного угла превращаются в вершины и дуги. Это полезно при изучении тел, их сечений и взаимного расположения элементов в пространстве. Умение различать углы и дуги особенно пригодится в задачах, где сферические данные нужно перевести в характеристики многогранного угла.

Что запомнить

• Стороны сферического многоугольника лежат на больших кругах.
• Плоские углы многогранного угла соответствуют сторонам сферического многоугольника.
• Углы сферического многоугольника соответствуют двугранным углам многогранного угла.
• Сумма углов сферического многоугольника больше суммы углов плоского многоугольника с тем же числом сторон.
• Площадь сферического многоугольника равна R², умноженному на его сферический избыток в радианах.
• Для сферического треугольника избыток равен сумме его углов минус π.