"Геометрия (изд. «Просвещение»)", Александров А.Д., Вернер А.Л. и др.
Сфера — поверхность, все точки которой одинаково удалены от центра; шар включает эту поверхность и пространство внутри неё. Эти объекты помогают описывать форму мяча, планеты и других тел, а также решать задачи о расстояниях в пространстве. Главное — сравнивать расстояние от точки до центра с радиусом: равенство указывает на сферу, меньшее расстояние — на внутреннюю часть шара. Диаметр при этом проходит через центр и вдвое длиннее радиуса.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Сфера — множество точек пространства, находящихся на одном и том же расстоянии от данной точки. Эту точку называют центром, а сферу обозначают по её центру и радиусу, например сферой с центром O и радиусом r. Проще представить сферу как поверхность мяча: каждая её точка одинаково удалена от середины.
Шар — часть пространства, состоящая из сферы и всех точек внутри неё. Поэтому шар — не только поверхность, но и всё пространство, ограниченное этой поверхностью. Это различие нужно, чтобы точно говорить, лежит ли точка на границе или внутри тела.
Центр сферы и шара — точка, от которой отсчитывают расстояние до точек сферы или шара. Обычно центр обозначают заглавной буквой, например O. Он служит началом отсчёта и помогает задать положение объекта в пространстве.
Радиус сферы и шара — расстояние от центра до любой точки сферы. Радиус можно обозначать буквой r, а отрезок от центра до точки поверхности — например, отрезком OA. Когда в задаче требуется длина радиуса, речь идёт о числе с единицами измерения, а не об отрезке как геометрическом объекте.
Чтобы задать сферу, достаточно указать её центр и радиус. Сфера охватывает все точки пространства, для которых расстояние до центра именно равно радиусу: если центр O, а радиус r, то для любой точки A сферы OA = r. Поэтому смена центра или радиуса меняет положение или размер сферы, но равенство расстояний для её точек сохраняется.
Шар содержит поверхность сферы и пространство внутри неё. Для точки внутри шара расстояние до центра меньше радиуса, а для точки на поверхности оно равно радиусу; следовательно, точка принадлежит шару, когда её расстояние не превышает радиус. Так можно различать три положения: на границе, внутри и снаружи. Точка за пределами шара находится от центра дальше, чем на радиус.
Сферу и шар удобно сравнить с окружностью и кругом. Окружность — линия на плоскости, точки которой равноудалены от центра, а круг включает эту линию и внутреннюю область. Сфера и шар устроены похоже, но относятся к пространству: поверхность сферы можно обойти со всех сторон, а шар занимает объём. Такое сравнение помогает не путать поверхность с ограниченной ею областью.
Диаметр соединяет две точки сферы и проходит через центр. Он состоит из двух радиусов, направленных в противоположные стороны, поэтому длина диаметра равна удвоенной длине радиуса: d = 2r. Если отрезок соединяет точки сферы, но не проходит через центр, он может быть хордой, однако диаметром его называть нельзя. Диаметр — самый длинный отрезок, который можно провести между точками сферы.
При проверке положения точки измеряют или находят её расстояние до центра и сравнивают результат с радиусом. Например, при радиусе 6 см точка на расстоянии 6 см лежит на сфере, на расстоянии 4 см — внутри шара, а на расстоянии 8 см — вне шара. Сравнение работает потому, что радиус задаёт границу шара. Сначала важно узнать именно расстояние до центра, а не до другой точки поверхности.
| Свойство | Сфера | Шар |
|---|---|---|
| Что представляет собой объект | Поверхность в пространстве | Сфера и точки внутри неё |
| Условие для расстояния от точки до центра | Равно радиусу | Не больше радиуса |
| Включает ли внутренние точки | Нет | Да |
| Роль радиуса | Расстояние от центра до каждой точки сферы | Граница допустимого расстояния до центра |
| Связь с диаметром | Диаметр проходит через центр, d = 2r | Диаметр проходит через центр, d = 2r |
Пользуйся таблицей, когда нужно отличить поверхность от всего тела или определить положение точки. Сначала найди расстояние до центра, затем сравни его с радиусом. Равенство указывает на сферу, а меньшее расстояние — на внутреннюю область шара.
Задача 1. Радиус сферы равен 5 см. Найдите её диаметр. Диаметр проходит через центр и состоит из двух радиусов, поэтому нужно удвоить известную длину. Обозначим радиус буквой r, а диаметр — d.
Ответ: 10 см. Проверка показывает, что от центра до каждого конца диаметра по 5 см.
Задача 2. Центр шара — точка O, радиус равен 6 см. Расстояния от точек A, B и C до O равны соответственно 6 см, 4 см и 8 см. Определите, какие точки лежат на сфере, внутри шара и вне шара. Для каждой точки сравним расстояние с радиусом 6 см: равенство означает поверхность, а меньшая или большая величина — положение внутри или снаружи.
Ответ: A лежит на сфере, B — внутри шара, C — вне шара. Точки внутри шара также принадлежат шару, но не лежат на его сфере.
Задача 3. Две точки сферы радиуса 7 см лежат на прямой, проходящей через её центр. Найдите расстояние между точками. Поскольку прямая проходит через центр, отрезок между точками является диаметром, а не произвольной хордой. Значит, расстояние между точками вдвое больше радиуса.
Ответ: 14 см. Каждый конец отрезка отстоит от центра на 7 см, поэтому весь отрезок равен сумме двух радиусов.
Считать сферу и шар одним и тем же — значит смешивать границу и всё пространство внутри неё. Так ошибаются, потому что в обычной речи названием мяча часто называют и поверхность, и предмет целиком. Проверь себя вопросом: включены ли внутренние точки? Если да, речь о шаре, а не только о сфере.
Иногда утверждают, что любая точка шара удалена от центра ровно на радиус. Это верно лишь для точек на поверхности; внутри шара расстояние меньше радиуса. Ошибку помогает заметить сравнение с мячеобразным телом: его середина тоже входит в шар, хотя находится от центра на нулевом расстоянии.
Радиусом называют и расстояние, и отрезок, поэтому эти смыслы легко перепутать. Длина радиуса — число, например 5 см, а радиус-отрезок соединяет центр с точкой сферы. Перед решением проверь, что именно требуется найти: длину отрезка или сам геометрический отрезок.
Отрезок между любыми двумя точками сферы не обязательно является диаметром. Диаметром он будет только тогда, когда проходит через центр; эту ошибку допускают, ориентируясь лишь на концы отрезка. Для проверки отметь центр: если он не лежит на отрезке, перед тобой не диаметр.
Для изучения сферы и шара нужны понятия расстояния между точками, отрезка, центра и радиуса окружности и круга. Знакомство с кругом помогает увидеть разницу между границей и областью внутри неё. Навык сравнивать расстояния с радиусом пригодится дальше при изучении пространственных тел, их сечений и геометрических измерений. Он позволяет описывать положение точек и размеры объектов в пространстве.
Чем сфера отличается от шара?
Сфера — только поверхность, все точки которой находятся от центра на расстоянии, равном радиусу. Шар состоит из этой поверхности и всех точек внутри неё.
Может ли точка шара находиться от центра дальше, чем на радиус?
Нет, если говорят о точке самого шара: её расстояние до центра не больше радиуса. Расстояние больше радиуса означает, что точка находится вне шара.
Как понять, лежит ли точка на сфере?
Нужно найти расстояние от точки до центра сферы и сравнить его с радиусом. Если расстояние равно радиусу, точка лежит на сфере.
Что называют диаметром шара?
Диаметр — отрезок, соединяющий две точки поверхности шара и проходящий через его центр. Его длина равна двум радиусам.
Чем сфера отличается от окружности?
Окружность — линия на плоскости, точки которой равноудалены от центра. Сфера — поверхность в пространстве, все точки которой равноудалены от центра.
2.5. Как определяют сферу и шар
