2.4. Построения циркулем и линейкой

Определения и обозначения

Геометрическое построение — получение фигуры с помощью заданных инструментов и разрешённых действий. Результат проверяют не только по рисунку, но и рассуждением: объясняют, почему точки и линии обладают нужными свойствами. Это помогает отличить точное построение от наброска, который лишь выглядит подходящим.

Линейка в таких задачах — прямой край без делений. С её помощью проводят прямую через две заданные точки. Это нужно, чтобы соединять построенные точки, не измеряя расстояния между ними.

Циркуль — инструмент для проведения окружности с заданными центром и радиусом. Он также позволяет переносить расстояния между точками, сохраняя выбранное раскрытие ножек. Благодаря этому можно строить равные отрезки и углы.

Задача на построение — задача, в которой требуется построить фигуру и обосновать, что она удовлетворяет заданным требованиям. Например, мало отметить предполагаемую середину отрезка: нужно объяснить, почему она действительно делит его пополам. Такое обоснование проверяет правильность конструкции.

Как это устроено

При классических построениях разрешены только действия, которые можно выполнить линейкой без делений и циркулем: провести прямую через две известные точки или окружность с известными центром и радиусом. Ограничение делает решение точным и не зависящим от того, насколько хорошо ученик умеет измерять. Деления линейки использовать нельзя: измерение даёт приближённый результат, а построение должно опираться на заданные точки и геометрические свойства.

Чтобы построить на луче отрезок, равный данному, сначала запоминают его длину раствором циркуля. Иглу ставят в один конец данного отрезка, а карандашный конец — в другой, затем циркуль переносят к началу луча. Не меняя раствор, проводят отметку на луче: полученная точка отстоит от начала ровно на длину исходного отрезка. Значит, длину удалось перенести, не сравнивая её с делениями.

Для построения равного угла используют дугу, которая пересекает обе стороны исходного угла. Циркуль сохраняет расстояние от вершины до этих точек пересечения, а затем ту же дугу проводят из новой вершины. После этого переносят расстояние между точками на исходной дуге: новая точка задаёт положение второй стороны угла. Так сравниваются одинаковые радиусы и одинаковые хорды — отрезки между точками дуги, поэтому получается угол той же величины.

Середину отрезка находят с помощью пересекающихся дуг, проведённых из его концов одинаковым радиусом. Радиус берут больше половины отрезка, иначе дуги не встретятся и две нужные точки получить не удастся. Каждая точка пересечения находится на одинаковом расстоянии от концов отрезка; прямая через эти точки делит отрезок пополам и перпендикулярна ему. Такая прямая называется серединным перпендикуляром.

Проверка построения состоит из двух частей: нужно выполнить конструкцию разрешёнными инструментами, а затем объяснить её результат. Для этого называют свойства, из-за которых полученные точки или линии подходят условию. Например, при переносе отрезка одинаковый раствор циркуля показывает равенство длин, а при поиске серединного перпендикуляра равенство расстояний от точек пересечения дуг до концов отрезка обосновывает построение. Чертёж помогает увидеть ход работы, но сам по себе доказательством не является.

Возможности циркуля и линейки при построениях

Перед работой определи, какое действие разрешено для каждого инструмента. Если нужно сохранить длину, используй циркуль, а не деления линейки. После выполнения конструкции проверь, можно ли обосновать полученный результат свойствами построенных точек и линий.

Разбор задач

На данном луче от его начала отложить отрезок, равный данному отрезку AB

Нужно получить точку на луче, расстояние от начала которого будет равно длине AB. Измерять отрезок не требуется: циркуль сохраняет его длину при переносе. Обозначим начало луча буквой C, а полученную точку — D.

1. Поставь иглу циркуля в точку A, а карандашный конец — в точку B. Так раскрытие циркуля станет равно длине AB.
2. Не меняя раствора циркуля, поставь иглу в начало C данного луча. Проведи дугу, чтобы она пересекла луч.
3. Обозначь точку пересечения D. Поскольку раствор не менялся, CD = AB.

Ответ: отрезок CD на данном луче равен отрезку AB. Если случайно раздвинуть или сдвинуть ножки циркуля между шагами, длина уже не будет перенесена точно.

Построить угол, равный данному углу с вершиной O

Пусть нужно построить такой же угол при новой вершине P и на заданном луче с началом P. Чтобы сохранить величину угла, перенесём дугу и расстояние между её точками пересечения со сторонами. Одинаковые дуга и хорда задают равные углы.

1. Проведи из вершины O дугу, пересекающую стороны угла в точках A и B. Запомни раствор циркуля для этой дуги.
2. С тем же раствором проведи дугу из точки P. Она пересечёт заданный луч в точке C.
3. Разведи циркуль на расстояние AB. Поставь иглу в C и отметь на новой дуге точку D, не меняя раствор.
4. Проведи луч из P через D. Угол между ним и заданным лучом равен исходному.

Ответ: построен угол, равный углу с вершиной O. Равенство следует из того, что в обоих углах взяты одинаковые радиусы дуг и равные расстояния между точками на них.

Построить серединный перпендикуляр данного отрезка AB

Серединный перпендикуляр проходит через середину отрезка и образует с ним прямой угол. Для построения нужны две точки, которые одинаково удалены от A и B. Их можно получить пересечением дуг одинакового радиуса.

1. Выбери раствор циркуля больше половины AB. Это условие нужно, чтобы дуги пересеклись по обе стороны от отрезка.
2. С центром в A проведи дугу, а затем, не меняя раствора, проведи дугу с центром в B.
3. Обозначь точки пересечения дуг X и Y. Из-за одинакового раствора AX = BX и AY = BY.
4. Проведи линейкой прямую через X и Y. Она и есть серединный перпендикуляр к AB.

Ответ: прямая XY перпендикулярна AB и проходит через его середину. Это следует из того, что X и Y равноудалены от A и B.

Типичные ошибки

• Используют деления линейки, чтобы измерить длину, хотя при построении её край нужен только для проведения прямой. Так поступают, потому что измерение кажется быстрее, но оно подменяет разрешённые действия и может дать неточное значение. Проверь себя: если результат зависит от шкалы на линейке, длину не строили циркулем.

• Меняют раствор циркуля, пока переносят длину отрезка. Это легко сделать, если отводить циркуль от чертежа или случайно сдвинуть его ножки, и тогда отметка окажется на другом расстоянии. Проверь себя: раствор должен быть установлен по концам исходного отрезка и оставаться неизменным до отметки.

• Для серединного перпендикуляра берут радиус меньше половины отрезка. Тогда окружности или дуги не пересекутся, и провести прямую через две точки пересечения не получится. Проверь себя: обе дуги должны встретиться над и под отрезком; выбирай радиус больше половины его длины.

• Ограничиваются рисунком и не объясняют, почему конструкция верна. На глаз точка может казаться серединой, хотя рисунок не доказывает равенство частей. Проверь себя: назови свойство, которое подтверждает каждый результат, например неизменность раствора циркуля или равенство расстояний от точек до концов отрезка.

Связь с другими темами

До построений нужно распознавать прямую, луч, отрезок, угол и окружность, а также знать их основные свойства. Эти понятия описывают, что именно предстоит построить и как расположены его части. Навык переносить длины и создавать линии пригодится при изучении треугольников и их равенства. Обоснование построений также помогает учиться доказывать геометрические утверждения.

Что запомнить

• Линейкой проводят прямую через две заданные точки.
• Циркулем проводят окружность с заданным центром и радиусом.
• Линейка в геометрических построениях не предназначена для измерения.
• Циркулем можно переносить длину отрезка.
• Правильно выполненное построение нужно обосновать.
• Пересечение построенных прямых и окружностей задаёт новые точки.