22. Построения циркулем и линейкой

Определения и обозначения

Геометрическое построение — получение требуемой фигуры с помощью допустимых действий циркулем и линейкой. В отличие от рисунка от руки, построение выполняют по определённым шагам и затем обосновывают. Это нужно, чтобы проверить не только внешний вид фигуры, но и выполнение заданных условий.

Циркуль — инструмент для проведения окружностей и переноса расстояний. Его иглу ставят в выбранную точку, а раскрытие задаёт радиус окружности; не меняя раскрытия, можно переносить длину с одного места на другое. Поэтому циркулем удобно строить точки, равноудалённые от заданных точек.

Линейка — инструмент для проведения прямой через две заданные точки. В задаче на построение она считается линейкой без делений: ею нельзя измерять длину или откладывать отрезок заданной величины. Это правило помогает не подменять геометрическое построение измерением.

Задача на построение — задача, в которой требуется получить фигуру по заданным условиям и обосновать правильность результата. Сначала выполняют нужные действия циркулем и линейкой, затем объясняют, почему получилась именно требуемая фигура. Такое обоснование отделяет доказанное решение от догадки по рисунку.

Как это устроено

В задачах заранее различают разрешённые действия, потому что каждый инструмент имеет свои возможности. Линейка проводит прямую через две точки, а циркуль строит окружности и переносит расстояния. Измерять длины и углы нельзя: точное на вид измерение не даёт геометрического доказательства и может зависеть от погрешности рисунка.

Чтобы построить серединный перпендикуляр к отрезку AB, проводят дуги одинакового радиуса с центрами в A и B. Радиус выбирают больше половины AB, иначе дуги не пересекутся и нужные точки не появятся. Через две точки пересечения проводят прямую — она будет искомой.

Почему эта прямая подходит? Каждая точка пересечения дуг находится на одинаковом расстоянии от A и B, поскольку радиусы окружностей равны. Точки, равноудалённые от концов отрезка, лежат на его серединном перпендикуляре. Поэтому проведённая через две такие точки прямая и есть серединный перпендикуляр.

Для деления угла пополам сначала проводят дугу с центром в вершине: она пересекает обе стороны угла. Затем из полученных точек проводят дуги одинакового радиуса и отмечают их пересечение внутри угла. Соединив это пересечение с вершиной, получают луч, который делит угол на две равные части.

Равенство частей объясняется свойствами построения. Точки на сторонах угла, отмеченные первой дугой, равноудалены от вершины; пересечение следующих дуг равноудалено от этих двух точек. Получившиеся треугольники имеют равные соответствующие стороны, поэтому равны, а углы при вершине делятся пополам. Построенный луч является биссектрисой.

Основные построения циркулем и линейкой

Пользуйся таблицей как кратким планом: сначала определи, что требуется получить, затем выполняй указанные действия. Последний столбец подсказывает, какое свойство нужно привести в обосновании. Если дуги не пересеклись, проверь выбранный радиус и исходные точки.

Разбор задач

Построить серединный перпендикуляр к отрезку AB

Нужно получить прямую, которая проходит через середину AB и образует с ним прямой угол. На глаз отметить середину недостаточно, поэтому найдём две точки, равноудалённые от A и B. Для этого используем одинаковые радиусы циркуля.

1. Поставь иглу циркуля в A и проведи дуги по обе стороны от отрезка.
2. Не меняя раскрытия циркуля, поставь иглу в B и проведи дуги того же радиуса. Выбери радиус больше половины AB, чтобы дуги пересеклись в двух точках.
3. Обозначь точки пересечения C и D и проведи линейкой прямую CD.

Точки C и D равноудалены от A и B, так как лежат на окружностях одинакового радиуса с центрами в этих точках. Значит, прямая CD является серединным перпендикуляром к AB. Ответ: прямая CD.

Разделить данный угол на две равные части

Пусть вершина угла — O, а его стороны пересекают дугу с центром O в точках A и B. Требуется провести луч, который образует с каждой стороной одинаковый угол. Для этого построим внутри угла точку, равноудалённую от A и B.

1. Проведи дугу с центром O так, чтобы она пересекла обе стороны угла в A и B.
2. С одинаковым радиусом проведи дуги из A и B. Радиус должен быть достаточно большим, чтобы дуги пересеклись внутри угла; обозначь точку пересечения C.
3. Проведи луч OC.

Отрезки OA и OB равны как радиусы первой дуги, AC и BC равны как радиусы одинаковых дуг, а OC — общая сторона треугольников OAC и OBC. Поэтому треугольники равны, и углы AOC и COB равны. Ответ: луч OC — биссектриса данного угла.

Через точку, не лежащую на данной прямой, построить перпендикуляр к этой прямой

Пусть дана прямая и точка P вне её. Ищем две точки на прямой, равноудалённые от P: тогда P будет лежать на серединном перпендикуляре к отрезку между ними. Такой перпендикуляр и пересечёт данную прямую под прямым углом.

1. Проведи окружность с центром P так, чтобы она пересекла прямую в двух точках A и B.
2. Построй серединный перпендикуляр к AB: проведи равные дуги из A и B и соедини точки пересечения.
3. Продли полученную прямую при необходимости.

Так как PA = PB, точка P лежит на серединном перпендикуляре к AB. По свойству серединного перпендикуляра построенная прямая перпендикулярна AB, а AB лежит на данной прямой. Ответ: прямая через P, перпендикулярная данной.

Типичные ошибки

Ошибка — измерять длину или откладывать её по делениям линейки. Так поступают, потому что в обычном чертеже линейкой часто измеряют, но в задаче на построение она неразмеченная. Проверь себя: для прямой используй линейку, а расстояние переноси циркулем.

Если выбрать слишком маленький радиус для дуг из концов отрезка, они не пересекутся. Тогда нельзя провести прямую через нужные точки; причина в том, что радиус меньше половины расстояния между центрами. До построения проверь, что радиус больше половины отрезка, или увеличь раскрытие циркуля.

Проведённый из вершины луч не становится биссектрисой только потому, что выглядит как делящий угол пополам. Рисунок бывает неточным, а равенство частей должно следовать из свойств построения. Проверь себя: обоснуй равенство углов, например докажи равенство получившихся треугольников.

Ещё одна ошибка — ограничиться аккуратным рисунком и не объяснить шаги. Видимые точки могут быть поставлены неточно, поэтому внешний вид не доказывает выполнения условия. Запиши, какие дуги и прямые проведены, и укажи свойство, по которому полученная фигура верна.

Связь с другими темами

Для построений нужны знакомые понятия: окружность и её центр, отрезок и его середина, перпендикулярные прямые и биссектриса угла. Эти определения помогают понять, какие точки искать и как обосновывать полученную фигуру. Если их свойства забылись, повтори их перед выполнением построения.

Построения применяются в задачах о треугольниках, перпендикулярах и биссектрисах. Они также подготавливают к изучению геометрических мест точек — множеств точек, обладающих общим свойством, например равноудалённых от концов отрезка. Поэтому построение не просто создаёт рисунок, а помогает находить и доказывать геометрические свойства.

Что запомнить

• Линейка без делений проводит прямую через две точки.
• Циркуль проводит окружность и переносит расстояние.
• Равные дуги из концов отрезка помогают построить его серединный перпендикуляр.
• Серединный перпендикуляр проходит через середину отрезка и образует с ним прямой угол.
• Биссектриса делит угол на два равных угла.
• Каждое построение нужно сопровождать обоснованием.