23. Примеры задач на построение

Определения и обозначения

Задача на построение — задача, в которой нужно получить фигуру с помощью разрешённых инструментов и обосновать результат. В обычной вычислительной задаче находят число или величину, а здесь важно выполнить геометрические действия. Это определение помогает помнить, что одного ответа или рисунка недостаточно.

Анализ — этап, на котором мысленно связывают искомую фигуру с данными условиями и намечают путь построения. Удобно представить, что фигура уже получена, и рассмотреть её элементы. Анализ нужен, чтобы понять, какие объекты следует построить и почему.

Построение — последовательность действий циркулем и линейкой, которая приводит к искомой фигуре. Сначала используют известные данные, а затем уже построенные объекты. Такой порядок позволяет выполнить замысел анализа и не опираться на приблизительный рисунок.

Доказательство подтверждает, что построенная фигура удовлетворяет условию, а исследование выясняет, существует ли решение и сколько решений возможно. Эти этапы отвечают на разные вопросы: доказательство проверяет результат, исследование — допустимость и варианты построения. Они нужны, чтобы не принять случайно похожую фигуру за ответ и не пропустить другие случаи.

Как это устроено

Решение задачи на построение делят на анализ, построение, доказательство и исследование, потому что на каждом этапе решают отдельную часть задачи. Сначала выясняют, как получить нужную фигуру, затем выполняют план, после этого проверяют результат. Наконец, рассматривают, всегда ли такой план сработает и не возникнут ли другие варианты. Если смешать этапы, легко принять удачный на вид чертёж за готовое решение.

В анализе полезно представить искомую фигуру уже построенной. Тогда можно рассмотреть, какие её элементы должны быть равны данным отрезкам или углам и где должны находиться нужные точки. Например, если вершина треугольника должна находиться на заданном расстоянии от двух точек, она одновременно принадлежит двум окружностям с центрами в этих точках. Такая связь подсказывает способ построения, а не просто повторяет условие.

План построения переводит найденные связи в точные действия циркулем и линейкой. Действия записывают в порядке выполнения: нельзя построить точку пересечения, пока не проведены соответствующие прямые или окружности. Поэтому каждый новый объект должен опираться на уже известные данные или ранее построенные объекты. Последовательный план помогает другому человеку повторить построение и проверить его.

В доказательстве проверяют, что полученная фигура обладает всеми заданными свойствами. Например, если по условию нужно построить треугольник с заданными сторонами, недостаточно показать, что линии образуют треугольник: надо обосновать равенство каждой его стороны нужному отрезку. Это важно, потому что при выполнении действий можно выбрать не ту точку пересечения или получить фигуру, которая лишь выглядит подходящей.

В исследовании проверяют, при каких данных построение возможно и сколько фигур можно получить. Например, две окружности могут не пересекаться, касаться или пересекаться в двух точках, и эти случаи дают разный результат. Проверка помогает обнаружить условия, при которых решения нет, а также не ограничиться только одним из нескольких решений. Поэтому исследование завершает разбор, а не просто повторяет доказательство.

Этапы решения задачи на построение

Пользуйся таблицей как планом ответа: сначала объясни найденную связь, затем запиши действия и обоснуй полученную фигуру. В конце укажи, при каких данных построение возможно и сколько вариантов оно даёт. Если для какого-то этапа не нашлось ответа, решение пока нельзя считать полным.

Разбор задач

Задача 1. Построить треугольник по трём заданным сторонам. Пусть даны длины a, b и c. Искомая вершина должна находиться на расстоянии b от одного конца выбранной стороны и на расстоянии c от другого. Значит, её можно найти как точку пересечения двух окружностей.

1. Построй отрезок AB длиной a.
2. Проведи окружность с центром A радиуса b и окружность с центром B радиуса c.
3. Одну из точек пересечения окружностей обозначь C и соедини её с A и B.

Ответ: △ABC — искомый треугольник, если окружности пересекаются. В построенной фигуре AB = a, AC = b, BC = c по выбору радиусов и точек.

Задача 2. Построить треугольник по стороне и двум прилежащим к ней углам. Пусть дана сторона AB, а углы заданы при A и B. Вершина C должна лежать на луче, который образует с AB заданный угол при A, и на луче, образующем заданный угол при B.

1. Построй отрезок AB заданной длины.
2. В одной полуплоскости относительно AB построй при A и B лучи, образующие с AB заданные углы.
3. Точку пересечения лучей обозначь C и получи треугольник ABC.

Ответ: △ABC является искомым, если лучи пересекаются. Его сторона AB задана, а углы при A и B равны заданным по построению.

Задача 3. Построить треугольник по двум сторонам и медиане, проведённой к третьей стороне. Пусть известны AC, BC и медиана CM к стороне AB. Медиана соединяет вершину с серединой противоположной стороны, поэтому удобно отразить вершину C относительно середины AB: её образ C′ находится на расстоянии 2CM от C. Тогда AC′ = BC, а BC′ = AC.

1. Построй отрезок CC′ длиной, равной удвоенной медиане CM, и отметь его середину M.
2. Проведи окружности с центрами C и C′ радиусами BC и AC соответственно; их точку пересечения обозначь A.
3. Отрази A относительно M и получи точку B; соедини A и B с C.

Ответ: △ABC — искомый треугольник при пересечении окружностей. Точки A и B симметричны относительно M, поэтому M — середина AB, а CM является заданной медианой.

Типичные ошибки

Записывать только действия построения — значит пропустить анализ. Так бывает, когда ученик видит знакомую задачу и сразу начинает чертить, не объясняя выбор окружностей или лучей. Проверь себя: можешь ли ты указать, какое условие оправдывает каждое действие? Если нет, сначала найди связь между данными и искомой фигурой.

Считать рисунок доказательством нельзя: его линии могут быть проведены неточно. Обычно ошибка возникает потому, что нужная фигура кажется очевидной на глаз. Проверь себя, обосновав каждое требуемое равенство или положение точек геометрическим свойством, а не внешним видом чертежа.

Не проверять пересечение построенных прямых или окружностей — значит не выяснить, возможно ли решение. Это упускают, когда считают, что заданные длины или углы всегда подходят друг к другу. Проверь условия пересечения: например, для окружностей сравни расстояние между центрами с суммой и разностью радиусов; если общей точки нет, решения при таких данных не существует.

Учитывать только одну точку пересечения — значит пропустить возможное второе решение. Часто выбирают первую удобную точку и не замечают симметричную ей точку по другую сторону от прямой центров. Проверь себя: пересекаются ли построенные окружности или лучи ещё где-нибудь и даёт ли другая точка фигуру, удовлетворяющую условию?

Связь с другими темами

Для построений нужно уметь проводить отрезки и углы, откладывать равные отрезки и углы, строить серединный перпендикуляр и окружность. Эти действия служат основными шагами при поиске нужных точек. Построение треугольников связано с признаками равенства треугольников: с их помощью можно обосновать, что полученная фигура единственна. Приёмы анализа, построения и доказательства пригодятся и в дальнейших задачах на геометрические построения.

Что запомнить

• Решение задачи на построение включает четыре этапа: анализ, построение, доказательство и исследование.
• Анализ помогает найти способ построения, но не заменяет само построение.
• Действия выполняют циркулем и линейкой в обоснованном порядке.
• Доказательство подтверждает выполнение всех условий задачи.
• Исследование устанавливает существование и число решений.
• Точность и вид чертежа сами по себе не являются доказательством.