§ 5. Измерение углов

Определения и обозначения

Градус — единица измерения угла: один градус равен 1/180 части развёрнутого угла. Его обозначают знаком °. Эта единица позволяет выражать величину угла числом и сравнивать разные углы.

Градусная мера угла — число, показывающее, сколько градусов содержит угол. Например, запись 45° означает, что мера угла составляет сорок пять градусов. Знак ° отличает градусную меру от обычного числа.

Минута и секунда — единицы, которыми записывают части градуса и минуты. Минуту обозначают знаком ′, секунду — ″; в одном градусе 60 минут, а в одной минуте 60 секунд. Они нужны, когда величина угла не выражается целым числом градусов.

Транспортир — инструмент для измерения и построения углов. У него есть центр, основание и шкала с делениями, обычно размеченная от 0° до 180°. Чтобы измерить угол, центр помещают в его вершину, основание совмещают с одной стороной, а значение считывают по шкале.

Как это устроено

Полный угол соответствует одному полному обороту вокруг точки. Его принято делить на 360 равных частей, каждая из которых составляет один градус. Развёрнутый угол — половина полного оборота, поэтому он содержит 360 ÷ 2 = 180°. Так получается определение градуса как 1/180 развёрнутого угла.

Чтобы измерить угол транспортиром, сначала нужно правильно поставить сам инструмент: его центр совместить с вершиной, а прямое основание — с одной стороной угла. Затем следует посмотреть, где эта сторона пересекает шкалу: там должен находиться ноль. Если вторая сторона угла попадает, например, на отметку 60°, мера угла равна 60°.

На транспортире обычно нанесены две шкалы, и отсчёт по неподходящей шкале даёт неверный результат. Выбирай ту шкалу, на которой нулевая отметка находится именно у стороны, совмещённой с основанием. Так можно определить, острый угол перед тобой или тупой, и не перепутать, например, 40° со 140°. Если сторона угла не доходит до отметки, её можно мысленно продолжить.

Длину сторон угла можно менять, не меняя сам угол: достаточно продолжить лучи или укоротить их. Поэтому транспортир показывает величину поворота от одной стороны к другой, а не длину линий на чертеже. Это свойство позволяет измерять один и тот же угол, даже если его стороны нарисованы отрезками разной длины.

Градусы можно делить на более мелкие единицы для точной записи результата. Один градус содержит 60 минут, а одна минута — 60 секунд: 1° = 60′ и 1′ = 60″. Основание 60 используется потому, что эти единицы исторически пришли из системы счёта, в которой удобно делить целое на 60 равных долей.

Если луч проходит внутри угла и делит его на два угла, исходный угол складывается из этих частей. Причина в том, что поворот от первой стороны к последней проходит сначала одну часть, а затем другую. Поэтому градусная мера целого угла равна сумме градусных мер его частей. Это правило работает и при делении угла на большее число частей.

Единицы измерения углов

При переводе градусов в минуты умножай число градусов на 60, а затем прибавляй оставшиеся минуты. При переводе минут в градусы дели их на 60: целая часть частного показывает градусы, а остаток — минуты. Чтобы перевести минуты в секунды, также умножай на 60.

Разбор задач

Задача 1. Измерить угол, изображённый на чертеже, и записать его градусную меру. В условии нет конкретного чертежа с числовой отметкой, поэтому важно разобрать порядок измерения и способ записи результата. Допустим, при правильном положении транспортира вторая сторона совпала с отметкой 70°.

1. Помести центр транспортира точно в вершину угла.
2. Совмести основание транспортира с одной стороной угла.
3. Выбери шкалу, у которой на этой стороне стоит 0°, и найди отметку, куда попадает вторая сторона.
4. Запиши найденное значение с обозначением градуса.

Отсчёт по шкале, начинающейся с противоположного края, дал бы дополнительное значение и мог бы превратить острый угол в тупой. Поэтому перед записью ещё раз проверь положение нуля. Ответ: в описанном примере угол равен 70°.

Задача 2. Луч, проходящий внутри угла, делит его на углы 38° и 47°. Найти градусную меру исходного угла. Так как луч расположен внутри, части идут одна за другой и вместе составляют исходный угол. Значит, нужно сложить их меры.

1. Проверь, что луч действительно проходит внутри исходного угла и разделяет его на указанные части.
2. Запиши сумму: 38° + 47°.
3. Сложи числа градусов: 38 + 47 = 85.

Складывать меры можно именно потому, что обе части образуют весь угол без наложения друг на друга. Ответ: 85°.

Задача 3. Выразить угол 23° 18′ в минутах, а затем представить 145′ в градусах и минутах. Для первого перевода градусы нужно заменить равным количеством минут и прибавить оставшиеся минуты. Для второго — выяснить, сколько полных групп по 60 минут содержится в 145.

1. Переведи градусы в минуты: 23 × 60 = 1380′.
2. Прибавь 18′: 1380′ + 18′ = 1398′.
3. Раздели 145′ на 60: получается 2 полные группы и остаток 25′.

Остаток меньше 60, поэтому он записывается минутами, а число полных групп — градусами. Ответ: 23° 18′ = 1398′; 145′ = 2° 25′.

Типичные ошибки

Отсчёт по шкале, которая начинается не от той стороны угла, часто приводит к неправильному ответу: на транспортире есть две шкалы, и числа на них идут в противоположных направлениях. Ошибку допускают, когда смотрят только на отметку у второй стороны. Проверь себя: у совмещённой с основанием стороны выбранной шкалы должен быть ноль.

Если центр транспортира смещён относительно вершины или его основание не совпадает со стороной угла, сторона угла пересекает шкалу не в том месте. Такое происходит из-за неточной установки инструмента. Перед отсчётом проверь сразу две точки: центр должен лежать на вершине, а основание — идти вдоль стороны.

Нельзя считать, что в градусе 100 минут или в минуте 100 секунд: переход между этими единицами выполняется по основанию 60. Ошибка появляется, если переносить на углы десятичную систему записи обычных чисел. Для проверки запомни соотношения 1° = 60′ и 1′ = 60″.

Найденные меры частей нельзя складывать, не проверив положение луча. Если он не лежит внутри угла или указанные части не составляют именно этот угол, сумма не даст нужного результата. Убедись, что луч разделяет угол на названные части, а затем сложи их меры.

Связь с другими темами

Перед измерением углов нужно знать, что такое угол, где находятся его вершина и стороны, и как луч может разделить угол на части. Эти понятия помогают правильно расположить транспортир и понять, какие величины складывать. Умение измерять углы понадобится при их сравнении и построении, а также при изучении смежных и вертикальных углов. Градусная мера используется в задачах о треугольниках и других геометрических фигурах.

Что запомнить

• Развёрнутый угол равен 180°, полный угол — 360°.
• Один градус — 1/180 развёрнутого угла.
• 1° = 60′, 1′ = 60″.
• Мера угла не зависит от длины его сторон.
• Мера угла, разделённого лучом на части, равна сумме мер этих частей.
• При измерении транспортиром его центр совмещают с вершиной угла.