9. Градусная мера угла

Определения и обозначения

Градусная мера угла — число, показывающее, сколько единичных углов-градусов содержится в данном угле. Она нужна, чтобы не только сравнивать углы на глаз, но и точно записывать их величину. Например, угол в 40° меньше угла в 70°.

Градус — единица измерения углов; один градус равен 1/180 части развернутого угла. Градус обозначают знаком ° и записывают после числа без пробела: 25°. Такая единица позволяет измерять углы одинаковой мерой.

Минута — единица измерения угла, равная 1/60 градуса. Её обозначают знаком ′, поэтому 1° = 60′, а запись 12°30′ означает двенадцать градусов и тридцать минут. Минуты используют, когда одного целого числа градусов недостаточно для точного измерения.

Мера угла — это всегда число с выбранной единицей измерения. Поэтому запись 90° и запись 90′ обозначают разные величины. Знаки ° и ′ помогают сразу понять, что именно измеряется.

Как это устроено

Развернутый угол принимают за 180°, потому что он получается, когда стороны угла лежат на одной прямой и направлены в противоположные стороны. Полный оборот вокруг точки состоит из двух таких углов, поэтому его мера равна 360°. Если развернутый угол разделить на 180 равных частей, каждая часть будет иметь меру 1°.

Для измерения используют транспортир. Сначала его центр совмещают с вершиной угла, затем одну из сторон угла — с линией 0° на основании транспортира. После этого смотрят, на какой отметке проходит вторая сторона, и записывают число градусов.

У транспортира две шкалы, потому что начинать отсчёт можно от любой стороны. Выбирают ту шкалу, где нулевая отметка находится у совмещённой стороны угла. Иначе можно получить не меру данного угла, а число, дополняющее её до 180°.

Градусная мера угла положительна, потому что угол содержит положительное число единичных углов. Равные углы можно разделить на одинаковое количество равных частей, поэтому в них содержится одинаковое число градусов. Значит, равные углы имеют равные градусные меры, и наоборот: углы с одинаковыми мерами равны.

Если луч проходит внутри угла и делит его на две части, эти части не перекрываются и вместе составляют исходный угол. Поэтому градусную меру целого угла находят сложением мер частей: m∠AOC = m∠AOB + m∠BOC. С градусами и минутами поступают по правилам единиц: 60′ превращаются в 1°, а при нехватке минут один градус можно заменить 60 минутами.

Виды углов и их градусные меры

Чтобы определить вид угла, сравните его меру с 90° и 180°. Например, 70° — острый угол, а 110° — тупой.

Таблица помогает быстро проверить результат измерения или вычисления. Если полученная мера не подходит ни под один промежуток, значит, в измерении или вычислении допущена ошибка.

Разбор задач

Измерение транспортиром

Условие: измерьте транспортиром угол, изображённый на чертеже. На рисунке конкретная величина не указана, поэтому результат получают непосредственно по шкале прибора.

1. Совместите центр транспортира с вершиной угла.
2. Поверните транспортир так, чтобы отметка 0° совпала с одной стороной угла.
3. Выберите шкалу, которая начинается с этой отметки, и найдите число у второй стороны угла.

Ответ: градусная мера угла равна числу градусов, указанному второй стороной на выбранной шкале.

Сложение частей угла

Условие: угол разделён лучом на два угла величиной 38° и 47°. Требуется найти меру исходного угла.

1. Части имеют общую вершину и вместе составляют исходный угол, поэтому их меры нужно сложить.
2. Выполните вычисление: 38° + 47° = 85°.
3. Проверьте результат: 85° меньше 90°, значит, исходный угол получился острым, что согласуется с суммой двух частей.

Ответ: 85°.

Перевод градусов и минут

Условие: градусная мера угла равна 24°36′. Выразите её в минутах, а затем представьте 1476′ в градусах и минутах.

1. Заменим 24° минутами: 24 · 60′ = 1440′.
2. Добавим оставшиеся 36′: 1440′ + 36′ = 1476′.
3. Для обратного перевода разделим 1476 на 60: получим 24 целых и остаток 36, значит, 1476′ = 24°36′.

Ответ: 24°36′ = 1476′; 1476′ = 24°36′.

Типичные ошибки

Иногда считают, что один градус — это 1/360 развернутого угла. Ошибка появляется из-за того, что полный оборот действительно равен 360°. Проверьте себя: развернутый угол составляет половину оборота, поэтому он равен 180°, а 1° — это 1/180 развернутого угла.

При работе с транспортиром можно начать отсчёт не от той шкалы. Так происходит, если не обратить внимания, с какой стороны стоит отметка 0°. Проверьте, что выбранная шкала начинается именно у стороны, с которой совмещён ноль.

Нельзя складывать градусы и минуты как десятичные части градуса. Минуты считают по основанию 60: 60′ образуют 1°, а не 100′. После вычисления проверьте, чтобы число минут было меньше 60, иначе лишний полный градус нужно выделить отдельно.

Меру одной части иногда принимают за меру всего угла. Это неверно, потому что луч разделяет угол, а не удаляет одну из его частей. Проверьте условие и сложите меры всех частей, если они вместе образуют исходный угол.

Связь с другими темами

До изучения градусной меры нужно понимать, что такое угол, где находятся его вершина и стороны, а также как луч делит угол на части. Эти знания помогают правильно установить транспортир и понять, какие углы нужно складывать.

Градусная мера понадобится при изучении смежных и вертикальных углов, треугольников и задач на построение. С её помощью находят неизвестные углы, сравнивают их и проверяют правильность построений.

Что запомнить

• Развернутый угол равен 180°.
• Один градус — 1/180 развернутого угла.
• 1° = 60′.
• Градусную меру записывают числом с обозначением °.
• Равные углы имеют равные градусные меры.
• Мера целого угла равна сумме мер его частей.