"Геометрия", Козлова С.А., Рубин А.Г., Гусев В.А.
Треугольник — фигура из трёх вершин и трёх соединяющих их отрезков. Его стороны и углы связаны: сумма внутренних углов всегда равна 180°, а большему углу противолежит большая сторона. По этим правилам можно находить неизвестные элементы, сравнивать стороны и проверять, образуют ли три отрезка треугольник. Эти свойства пригодятся при решении задач и доказательстве равенства треугольников.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Треугольник — фигура из трёх точек, не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков, соединяющих эти точки попарно. Точки называют вершинами, а отрезки — сторонами. Например, треугольник ABC имеет вершины A, B, C и стороны AB, BC, CA; такой записью сразу показывают, какие точки образуют фигуру.
Внутренний угол треугольника образован двумя его сторонами, выходящими из одной вершины. Угол при вершине A обозначают ∠A или ∠BAC, если важно указать стороны, образующие его. Каждому углу противолежит сторона, которая не имеет с ним общей вершины: напротив ∠A находится сторона BC; эта связь понадобится для сравнения углов и сторон.
Внешний угол треугольника — угол, смежный с одним из его внутренних углов. Например, при вершине A продолжим сторону AC за точку C; угол между лучами AB и продолжением AC будет внешним при A. Он образуется из внутреннего угла при той же вершине и прямой линии, поэтому эти два угла в сумме дают 180°.
Неравенство треугольника утверждает: сумма длин любых двух сторон треугольника больше длины третьей стороны. Если длины сторон равны a, b и c, то должны выполняться условия a + b > c, a + c > b и b + c > a. Это правило помогает проверить, можно ли построить треугольник из отрезков заданной длины.
У треугольника три вершины, три стороны и три внутренних угла, и они связаны попарно через противоположное расположение. Например, сторона AB соединяет вершины A и B, поэтому она не касается вершины C и лежит напротив угла C. Такое соответствие важно не перепутать: именно противолежащие элементы сравнивают в свойствах треугольника.
Чтобы объяснить сумму углов, через вершину A проводят прямую, параллельную противоположной стороне BC. Стороны AB и AC пересекают эту прямую, поэтому накрест лежащие углы при пересечениях равны соответственно углам B и C. Эти два угла вместе с углом A составляют развёрнутый угол на прямой, а его величина равна 180°; значит, ∠A + ∠B + ∠C = 180°.
Внешний угол при вершине смежен с внутренним углом этой вершины, поэтому вместе они дают 180°. Сумма трёх внутренних углов тоже равна 180°, значит, если из неё убрать внутренний угол, смежный с внешним, останутся два других внутренних угла. Поэтому внешний угол равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.
В треугольнике большему углу соответствует большая противолежащая сторона, и наоборот. Это связано с формой фигуры: напротив широкого угла сторона протягивается дальше, чем напротив меньшего угла. Если две стороны равны, то и углы напротив них равны; иначе сторонам разной длины соответствовали бы равные углы, что противоречило бы правилу сравнения.
Возьмём две вершины треугольника и сравним прямой путь между ними с путём через третью вершину. Отрезок между двумя точками короче ломаной, которая соединяет их через другую точку, поэтому длина одной стороны меньше суммы двух остальных. Это рассуждение можно применить к каждой стороне, отсюда следуют все три неравенства треугольника.
| Что сравниваем или находим | Свойство |
|---|---|
| Сумма внутренних углов | Равна 180°. |
| Внешний угол | Равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. |
| Сторона и противолежащий угол | Большей стороне соответствует больший угол; равным сторонам — равные углы. |
| Длины трёх сторон | Сумма любых двух длин больше третьей. |
Сначала определите, что требуется найти или сравнить, а затем выберите соответствующую строку. При работе с углами проверьте, является ли угол внутренним или внешним; при сравнении сторон найдите именно противолежащие углы. Для проверки трёх длин убедитесь, что условие выполняется для каждой пары сторон.
Задача 1. В треугольнике два угла равны 48° и 67°. Найдите третий угол. Нужно использовать сумму внутренних углов: вместе все три угла составляют 180°, поэтому неизвестный угол найдётся вычитанием суммы известных из 180°.
Ответ: третий угол равен 65°. Проверка подтверждает, что сумма всех трёх углов верна.
Задача 2. Внешний угол треугольника равен 125°, один из не смежных с ним внутренних углов — 53°. Найдите второй такой угол. Здесь не нужно вычитать внешний угол из 180°: по свойству внешний равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.
Ответ: второй угол равен 72°. Проверка: 53° + 72° = 125°, то есть сумма совпадает с величиной внешнего угла.
Задача 3. Длины двух сторон треугольника равны 5 см и 9 см. Какие целые значения может принимать длина третьей стороны? Обозначим её x. По неравенству треугольника x должно быть больше разности известных длин и меньше их суммы.
Ответ: третья сторона может быть равна 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 или 13 см. Границы 4 и 14 не подходят, потому что в неравенстве требуются строгие знаки.
Иногда складывают только два угла или считают, что сумма углов треугольника равна 360°. Так случается, если правило для треугольника путают с суммой углов других фигур. Проверяйте, что учтены все три внутренних угла и их сумма записана как 180°.
Внешний угол могут приравнять смежному внутреннему, хотя эти углы в сумме дают 180°. Ошибка возникает, когда забывают о свойстве внешнего угла: он равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. Для проверки посмотрите, какие именно углы складываются, и отдельно проверьте сумму внешнего и смежного внутреннего.
При сравнении стороны иногда берут угол при её конце, то есть соседний, а не противолежащий. Это происходит из-за того, что сторона и угол расположены близко и их легко связать неверно. Найдите вершину, которая не входит в обозначение стороны: угол при ней и будет противолежащим.
Для третьей стороны проверяют только, что она меньше суммы двух известных сторон, и забывают про нижнюю границу. Тогда можно принять разность сторон или число меньше неё, хотя такой отрезок треугольник не образует. Составьте оба условия: третья сторона меньше суммы и больше разности двух остальных.
Чтобы разобраться в теме, нужно знать виды углов, смежные углы и свойства параллельных прямых. Они помогают объяснить сумму углов треугольника и связь внешнего угла с внутренними. Сравнение сторон и углов пригодится при доказательстве равенства треугольников и нахождении неизвестных элементов. Неравенство треугольника позволяет проверять, могут ли три заданных отрезка образовать треугольник.
Почему сумма углов любого треугольника равна 180°?
Через одну вершину проводят прямую, параллельную противоположной стороне. Тогда два угла при этой прямой равны двум углам треугольника как накрест лежащие. Вместе с третьим углом они образуют развёрнутый угол, равный 180°.
Как отличить внешний угол от внутреннего?
Внутренний угол образован двумя сторонами треугольника при его вершине. Внешний угол получается, если продолжить одну из сторон: он смежен с внутренним углом при этой вершине. У них одна общая сторона, а две другие образуют прямую.
Можно ли найти внешний угол, если известны два внутренних угла?
Да, если известные углы не смежны с искомым внешним углом, их нужно сложить. Внешний угол равен сумме двух таких внутренних углов. Если известен смежный внутренний угол, внешний можно найти, вычтя его из 180°.
Как определить, какая сторона треугольника самая длинная?
Сравните противолежащие ей углы: самой длинной будет сторона напротив самого большого угла. И наоборот, напротив самой длинной стороны расположен самый большой угол. Сравнивать нужно именно противоположные, а не соседние элементы.
Могут ли отрезки длиной 3 см, 4 см и 8 см образовать треугольник?
Нет. Сумма двух коротких отрезков равна 3 + 4 = 7 см, а это меньше 8 см. Для треугольника сумма любых двух сторон должна быть больше третьей.
3.1. Треугольник. Свойства его сторон и углов
