3.2. Многоугольники

Определения и обозначения

Многоугольная линия — это несколько отрезков, соединённых последовательно: конец одного отрезка является началом следующего. Если конец всей линии совпадает с её началом, она замкнутая; иначе линия незамкнутая. Это различие нужно, чтобы понять, ограничивает ли линия область плоскости.

Многоугольник — простая замкнутая многоугольная линия вместе с частью плоскости, которую она ограничивает. Слово «простая» означает, что линия не пересекает сама себя. Многоугольник задают его вершинами и сторонами: так можно точно описать фигуру и её границу.

Вершины многоугольника — точки, в которых соединяются соседние стороны, а стороны — сами отрезки границы. Многоугольник обозначают заглавными буквами вершин, записанными по порядку обхода, например ABCD. Такое обозначение показывает, какие вершины соединены сторонами.

Диагональ многоугольника — отрезок, соединяющий две несоседние вершины. Если вершины соседние, соединяющий их отрезок уже является стороной, а не диагональю. Различение этих отрезков понадобится при описании устройства многоугольников.

Как это устроено

Граница многоугольника должна быть замкнутой: иначе у неё останется разрыв и нельзя будет однозначно выделить ограниченную часть плоскости. Она также не должна пересекать себя. При самопересечении появляются несколько областей, и линия уже не образует обычную границу одного многоугольника.

У многоугольника столько же вершин, сколько сторон, потому что каждый отрезок соединяет одну пару соседних вершин. Если пройти границу целиком, то после каждой вершины встречается сторона, а после каждой стороны — следующая вершина. По числу сторон фигуру называют треугольником при трёх сторонах, четырёхугольником при четырёх, пятиугольником при пяти и так далее.

Соседними называют вершины, соединённые одной стороной. Вершины, между которыми на границе есть хотя бы ещё одна вершина, несоседние. Поэтому отрезок между соседними вершинами — сторона, а отрезок между несоседними — диагональ; например, в четырёхугольнике диагонали соединяют пары противоположных вершин.

Многоугольник называют выпуклым, если отрезок между любыми двумя его точками целиком лежит внутри него. Это определение помогает отличить фигуру без «впадин» от невыпуклой. В выпуклом многоугольнике каждая диагональ лежит внутри фигуры, поскольку её концы — точки многоугольника; у невыпуклого такой отрезок может выходить за границу.

Периметр — длина всей границы многоугольника, поэтому его находят сложением длин всех сторон. Каждую сторону учитывают ровно один раз, а результат записывают в единицах длины. Если все стороны равны, достаточно умножить длину одной стороны на число сторон: это та же сумма одинаковых слагаемых.

Элементы и признаки многоугольника

Пользуйтесь таблицей как короткой проверкой: сначала установите, что линия замкнута и не пересекает себя, затем разберите её элементы. Для периметра отдельно проверьте, что учтена каждая сторона и единицы измерения совпадают.

Разбор задач

Задача 1. На рисунке изображены несколько замкнутых и незамкнутых линий, в том числе одна самопересекающаяся. Определите, какие из них являются границами многоугольников. Так как самих линий перед нами нет, перечислить конкретные варианты нельзя; применим точный признак к каждой изображённой линии.

1. Проверьте, состоит ли линия только из отрезков, соединённых концами.
2. Установите, совпадает ли её конец с началом; если нет, линия незамкнутая.
3. Проверьте, пересекает ли линия сама себя; самопересекающуюся линию исключите.
4. Оставьте линии, которые состоят из отрезков, замкнуты и не имеют самопересечений.

Ответ: границами многоугольников являются только простые замкнутые линии из отрезков. По этому правилу можно определить подходящие линии на любом рисунке.

Задача 2. Найдите периметр пятиугольника, если длины его сторон равны 3 см, 4 см, 4 см, 5 см и 6 см. Периметр — общая длина границы, поэтому нужно сложить длины всех пяти сторон. Все значения уже даны в сантиметрах.

1. Запишите сумму: P = 3 + 4 + 4 + 5 + 6.
2. Сложите удобными группами: 3 + 4 + 4 + 5 + 6 = 22.
3. Укажите единицу длины, в которой были измерены стороны.

Ответ: 22 см.

Задача 3. Начертите выпуклый шестиугольник, отметьте все его диагонали и укажите, какие вершины соединяет каждая из них. Обозначим вершины по порядку A, B, C, D, E, F. Сначала отделим стороны от диагоналей, чтобы не отметить одну и ту же пару дважды.

1. Для вершины A соедините её с несоседними C, D и E.
2. Для вершины B добавьте соединения с D и E: отрезок BA — сторона, а BC — тоже сторона.
3. Для вершины C добавьте CE; остальные возможные соединения уже отмечены или являются сторонами.
4. Проверьте, что получились отрезки AC, AD, AE, BD, BE и CE.

Ответ: диагонали шестиугольника — AC, AD, AE, BD, BE и CE. Всего их шесть; в выпуклом шестиугольнике они проходят внутри фигуры.

Типичные ошибки

Называть многоугольником любую замкнутую линию — ошибка: линия может быть кривой или пересекать себя. Так путаются, потому что запоминают только слово «замкнутая». Проверьте, что граница составлена из отрезков и нигде не пересекается.

Считать числа вершин и сторон разными неверно: при обходе каждой вершине соответствует сторона. Ошибка возникает, если пересчитывать элементы не по порядку или пропустить угол. Обойдите границу и отмечайте по очереди каждую вершину и следующий за ней отрезок.

Считать диагональю любой отрезок между вершинами — значит не различать соседние и несоседние вершины. Отрезок между соседями уже является стороной, поэтому повторно называть его диагональю нельзя. Перед проверкой диагонали проследите, есть ли между выбранными вершинами сторона границы.

При вычислении периметра легко забыть сторону или сложить величины в разных единицах. Тогда ответ не описывает всю длину границы или оказывается записан неверно. Отметьте каждую сторону после учёта, сложите все длины ровно по одному разу и сначала переведите их в одинаковые единицы.

Связь с другими темами

Для изучения многоугольников нужно знать, что такое отрезок, его концы и длина, а также уметь складывать величины длины. Эти основы позволяют распознавать стороны и вычислять периметр. Вершины, стороны и диагонали понадобятся при изучении треугольников, четырёхугольников и других фигур. Периметр применяют в задачах на измерение и вычисление длины границы.

Что запомнить

• Многоугольник ограничен простой замкнутой линией из отрезков.
• Вершины многоугольника — концы его сторон.
• Число сторон многоугольника равно числу его вершин.
• Диагональ соединяет две несоседние вершины.
• В выпуклом многоугольнике отрезок между любыми двумя его точками лежит внутри него.
• Периметр равен сумме длин всех сторон.