"Геометрия", Козлова С.А., Рубин А.Г., Гусев В.А.
Многоугольник состоит из сторон и вершин, а его углы помогают описывать форму фигуры и решать задачи на её свойства. Для выпуклого многоугольника сумма внутренних углов зависит от числа сторон, а сумма внешних углов, взятых по одному при каждой вершине, всегда равна 360°. Если все стороны и углы равны, многоугольник называют правильным: тогда можно вычислить каждый угол и определить число сторон по величине угла.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Внутренний угол многоугольника — угол между сторонами, выходящими из одной вершины. Внутренней считают ту часть плоскости, которая находится внутри многоугольника, а не снаружи него. Понятие помогает отличать углы фигуры от углов, которые возникают при продолжении сторон. Для выпуклого многоугольника внутренний угол меньше 180°.
Внешний угол многоугольника — угол, смежный с внутренним углом при той же вершине. Чтобы его получить, продолжают одну из сторон за вершину и рассматривают угол между продолжением и другой стороной. Так можно связать внешний угол с внутренним через прямую линию. Эта связь особенно полезна при вычислениях.
Сумма внутренних углов многоугольника — результат сложения углов при всех его вершинах. Для выпуклого n-угольника она зависит от числа сторон n и равна 180°(n − 2). Эта формула позволяет узнать общую сумму, даже если отдельные углы неизвестны. Буквой n обычно обозначают число сторон фигуры.
Правильный многоугольник — выпуклый многоугольник, у которого все стороны и все углы равны. Равенство углов означает, что сумма внутренних углов делится поровну между вершинами. Поэтому для правильной фигуры можно вычислить каждый угол, зная только число сторон. Примеры таких фигур — квадрат и равносторонний треугольник.
Выберем вершину выпуклого n-угольника и проведём из неё диагонали ко всем вершинам, которые не являются соседними. Получатся треугольники, потому что каждая часть ограничена тремя отрезками; внутри выпуклой фигуры они не перекрываются и заполняют её целиком. Две стороны многоугольника, выходящие из выбранной вершины, образуют первый треугольник вместе с диагональю. Всего треугольников будет n − 2: у треугольника получается один, у четырёхугольника — два, и с каждой новой стороной добавляется ещё один. Так как сумма углов каждого треугольника равна 180°, сумма внутренних углов многоугольника равна 180°(n − 2).
Представим, что мы идём по сторонам выпуклого многоугольника и в каждой вершине поворачиваем, чтобы двигаться дальше. Величина поворота равна соответствующему внешнему углу. После обхода мы снова смотрим в исходном направлении, значит, суммарно совершили полный оборот. Полный поворот составляет 360°, поэтому сумма внешних углов, если взять по одному при каждой вершине, равна 360°. Это рассуждение подходит и тогда, когда углы при разных вершинах не равны.
У правильного n-угольника все внутренние углы одинаковы по определению. Их сумма уже известна: 180°(n − 2), поэтому, чтобы найти один угол, нужно разделить эту сумму на n вершин. Получается формула 180°(n − 2) / n. Например, у правильного пятиугольника каждый внутренний угол равен 180° · 3 / 5 = 108°. Для обычного выпуклого многоугольника делить сумму на n нельзя: его углы могут быть разными.
Внутренний угол и внешний угол при одной вершине образуют смежную пару: их общая сторона одна, а две другие стороны лежат на одной прямой. Смежные углы в сумме дают 180°, поэтому внешний угол равен 180° минус внутренний. В правильном многоугольнике все внешние углы тоже равны, поскольку каждый дополняет одинаковый внутренний угол до 180°. Если их n, а сумма равна 360°, один внешний угол равен 360° / n.
Если известен внешний угол правильного многоугольника, число сторон находят из равенства 360° / n = α, то есть n = 360° / α. Если дан внутренний угол β, сначала вычисляют внешний: α = 180° − β, а затем находят n. Ответ может быть числом сторон только тогда, когда n — целое число не меньше трёх. Например, внешний угол 40° даёт n = 9, а угол 50° дал бы n = 7,2: правильного многоугольника с таким внешним углом не существует.
| Характеристика | Выпуклый n-угольник | Правильный n-угольник |
|---|---|---|
| Сумма внутренних углов | 180°(n − 2) | 180°(n − 2) |
| Величина каждого внутреннего угла | Не определяется только числом сторон | 180°(n − 2) / n |
| Сумма внешних углов, взятых по одному при каждой вершине | 360° | 360° |
| Величина каждого внешнего угла | Не определяется только числом сторон | 360° / n |
| Связь внутреннего и внешнего углов при вершине | Сумма равна 180° | Сумма равна 180° |
В таблице сравниваются свойства, которые верны для любого выпуклого многоугольника, и свойства, требующие равенства всех углов. Если нужно найти отдельный угол, используйте формулу из правого столбца только для правильного многоугольника. Для проверки результата можно сложить внутренний и внешний углы при вершине: должна получиться прямая, то есть 180°.
Задача. Найдите сумму внутренних углов выпуклого шестиугольника. Нужно узнать именно общую сумму, а не величину одного угла. Поэтому достаточно применить формулу для выпуклого n-угольника.
Ответ: 720°.
Задача. Найдите внутренний и внешний углы правильного восьмиугольника. У правильной фигуры внешние углы равны, и их общая сумма составляет 360°. Сначала найдём внешний угол, а затем используем смежность углов при вершине.
Ответ: внешний угол равен 45°, внутренний — 135°.
Задача. Каждый внешний угол правильного многоугольника равен 24°. Сколько у него сторон и чему равен каждый внутренний угол? Поскольку многоугольник правильный, его внешние углы равны, и их сумма известна. После определения числа сторон остаётся найти угол, смежный с внешним.
Ответ: 15 сторон; каждый внутренний угол равен 156°.
В формулу суммы внутренних углов иногда подставляют n вместо n − 2. Так происходит, если забыть, что диагонали из одной вершины образуют именно n − 2 треугольника, а не n. Проверьте себя на треугольнике: при n = 3 формула должна дать 180°. Подстановка 180° · 3 этот простой случай сразу опровергает.
Формулу 180°(n − 2) могут принять за величину одного угла, хотя она даёт сумму всех внутренних углов. Путаница возникает, когда не различают слово «сумма» и «каждый». У правильного многоугольника для одного угла нужно дополнительно разделить результат на n. Проверяйте, соответствует ли ответ размеру одного угла: он должен быть меньше 180°.
Сумму внешних углов 360° иногда ошибочно считают суммой внутренних. Обе суммы относятся к углам многоугольника, поэтому их легко перепутать, но для внутренней суммы действует формула 180°(n − 2). Число 360° относится только к внешним углам, взятым по одному при каждой вершине. Самопроверка: у квадрата внутренние углы дают 360°, а внешние — тоже 360°, но это разные суммы.
Ещё одна ошибка — складывать внутренний и внешний углы при вершине до 360°. Внешний угол получают продолжением стороны, поэтому вместе с внутренним они лежат на прямой и образуют смежную пару. Их сумма равна 180°, а не полному обороту. Если вычисленный внешний угол не дополняет внутренний до 180°, нужно проверить решение.
Чтобы разобраться с углами многоугольников, нужно знать, что такое вершина, сторона, диагональ и выпуклый многоугольник, а также уметь находить сумму углов треугольника. Понятие смежных углов объясняет, почему внутренний и внешний углы при вершине дают 180°. Эти знания применяются в задачах на многоугольники: по известным углам находят неизвестные, а по числу сторон — свойства фигуры. Формулы также пригодятся при изучении площадей и других свойств правильных фигур.
Почему из одной вершины n-угольника можно провести диагонали, образующие именно n − 2 треугольника?
Из выбранной вершины проводят диагонали ко всем вершинам, кроме неё самой и двух соседних. Эти диагонали делят выпуклый многоугольник на треугольники, не оставляя промежутков и не накладывая их друг на друга. Число получившихся треугольников равно n − 2.
Сумма внутренних углов зависит от того, правильный ли многоугольник?
Нет, для любого выпуклого n-угольника сумма равна 180°(n − 2). Правильность влияет на величину каждого угла: в правильном многоугольнике все углы равны, поэтому сумму делят на число сторон.
Почему сумма внешних углов равна 360°?
Если обходить многоугольник и каждый раз поворачивать на величину внешнего угла, после полного обхода направление движения вернётся к исходному. В сумме получится полный поворот, то есть 360°. Здесь берут ровно по одному внешнему углу при каждой вершине.
Как найти число сторон правильного многоугольника по одному внешнему углу?
Сумма внешних углов правильного многоугольника равна 360°, а все они одинаковы. Поэтому число сторон n находят по формуле n = 360° / α, где α — величина внешнего угла. Полученное число должно быть целым и не меньше трёх.
Может ли каждый внутренний угол правильного многоугольника быть равен 150°?
Да. Внешний угол при такой вершине равен 180° − 150° = 30°, поэтому число сторон равно 360° / 30° = 12. Значит, это правильный двенадцатиугольник.
3.3. Углы многоугольников. Правильные многоугольники
