3.4. Знакомство с многогранниками

Определения и обозначения

Многогранник — объёмное геометрическое тело, поверхность которого состоит из многоугольников. В отличие от плоского многоугольника, он занимает часть пространства. Это определение помогает узнать многогранник среди других тел: его поверхность должна быть составлена именно из плоских многоугольников.

Грань многогранника — многоугольник, составляющий часть его поверхности. Например, у куба каждая квадратная сторона является гранью. По форме и расположению граней можно описывать, из каких частей построено тело.

Ребро — общая сторона двух граней, а вершина — общая точка сходящихся рёбер. Ребро можно представить как отрезок, а вершину — как точку, где встречаются несколько таких отрезков. Эти понятия нужны, чтобы считать и сравнивать элементы многогранников.

Призма имеет два равных параллельных основания и боковые грани между ними. Пирамида имеет одно основание, а её боковые треугольники сходятся в общей вершине. Такое устройство позволяет быстро различать эти два вида многогранников.

Как это устроено

Чтобы получить многогранник, многоугольники соединяют сторонами так, чтобы они образовали замкнутую поверхность без открытых краёв. Стороны, которыми соприкасаются два многоугольника, становятся рёбрами тела. Замкнутость нужна потому, что только тогда плоские части ограничивают объём, а не образуют просто разложенную схему.

Устройство многогранника описывают количеством граней, рёбер и вершин. На модели сначала удобно выделить отдельные многоугольники, затем отметить их общие стороны и точки соединения рёбер. При подсчёте нужно учитывать и невидимые элементы: на рисунке их часто показывают пунктиром, иначе число частей получится меньше настоящего.

У призмы два основания имеют одинаковую форму и размер и лежат в параллельных плоскостях. Каждая сторона одного основания соединяется с соответствующей стороной другого, поэтому между основаниями появляются боковые грани. Если основание — n-угольник, то боковых граней будет n, а всего граней — n + 2.

У пирамиды основание только одно. Каждая его сторона вместе с общей вершиной образует треугольную боковую грань, поэтому все боковые грани сходятся в одной точке. Форма граней у многогранников может быть разной: у призмы они обычно параллелограммы, у пирамиды — треугольники, а у куба все грани квадраты.

Сравнение призмы и пирамиды

В таблице сначала сравни основания, затем форму и соединение боковых граней. Буква n обозначает число сторон многоугольника в основании. Формулы помогают считать элементы без перебора каждого из них на рисунке.

Например, если основание имеет пять сторон, у призмы будет десять вершин и пятнадцать рёбер. У пирамиды с таким же основанием будет шесть вершин и десять рёбер. Так таблица связывает внешний вид тела с его количественными характеристиками.

Разбор задач

Задача 1. На модели многогранника нужно указать его грани, рёбра и вершины. Требуется не перепутать части поверхности с линиями и точками, которыми они соединяются. Решение удобно начинать с одного хорошо видимого участка.

1. Найди плоские многоугольники, из которых составлена поверхность тела, и назови их гранями.
2. Для каждой пары соседних граней отметь общую сторону; это ребро многогранника.
3. Отметь точки, в которых встречаются рёбра; это вершины, после чего проверь, не посчитана ли одна точка дважды.

Ответ: грани — многоугольники поверхности, рёбра — их общие стороны, вершины — точки сходящихся рёбер.

Задача 2. Нужно определить, является ли изображённое тело призмой или пирамидой, и назвать его основания. На рисунке могут быть видны не все части, поэтому ориентироваться следует не на положение фигуры, а на её устройство. Главное различие связано с числом оснований и расположением боковых граней.

1. Найди многоугольник или два многоугольника, которые могут быть основаниями.
2. Если есть два равных параллельных основания, а боковые грани соединяют их соответствующие стороны, тело является призмой.
3. Если основание одно, а треугольные грани сходятся в одной точке, тело является пирамидой; основание — найденный многоугольник.

Ответ: два равных параллельных основания означают призму, одно основание с общей вершиной боковых граней — пирамиду.

Задача 3. У призмы пятиугольное основание. Определим количество её граней, вершин и рёбер по устройству призмы, а не пересчитывая невидимые линии. Пятиугольник имеет пять сторон, поэтому здесь n = 5.

1. Оснований два, боковых граней столько же, сколько сторон у основания: 5.
2. Общее число граней: 2 + 5 = 7.
3. В каждом основании по 5 вершин, значит, вершин 2 · 5 = 10.
4. Рёбра состоят из 5 рёбер нижнего основания, 5 верхнего и 5 боковых: 5 + 5 + 5 = 15.

Ответ: у призмы 7 граней, 10 вершин и 15 рёбер.

Типичные ошибки

Иногда гранью называют всё объёмное тело. Так происходит потому, что в обычной речи словом «сторона» могут обозначать разные части предмета. Проверь себя: грань — только один плоский многоугольник поверхности, а не весь многогранник.

Ребро путают с вершиной, хотя это разные геометрические объекты. Ребро имеет длину и является отрезком, вершина не имеет длины и является точкой. Для проверки спроси себя: можно ли провести вдоль этой части линию — если да, это ребро.

Боковые грани призмы иногда считают треугольниками по аналогии с пирамидой. У призмы они соединяют соответствующие стороны двух оснований и обычно имеют четыре стороны. Если грань сходится в одной отдельной вершине, перед тобой, скорее всего, боковая грань пирамиды.

У пирамиды иногда находят два основания, принимая за второе место, где сходятся боковые грани. Но такая точка является вершиной, а не основанием. Проверь фигуру: у пирамиды одно многоугольное основание и треугольные грани, сходящиеся в общей вершине.

Связь с другими темами

До изучения многогранников нужно знать многоугольники, их стороны и вершины. Также важно различать плоские фигуры и пространственные тела: многоугольник лежит на плоскости, а многогранник имеет объём.

Грани, рёбра и вершины понадобятся при изучении развёрток многогранников. По этим элементам также составляют формулы для площади поверхности и объёма тел, поэтому умение их считать пригодится в следующих темах.

Что запомнить

• Многогранник ограничен плоскими многоугольниками.
• Многоугольники поверхности многогранника называются гранями.
• Общая сторона двух граней — ребро.
• Точка, в которой сходятся рёбра, — вершина.
• У призмы два равных параллельных основания.
• У пирамиды одно основание, а боковые грани сходятся в общей вершине.