4.1. Понятие пирамиды. Виды пирамид

Определения и обозначения

Пирамида — многогранник, у которого одна грань является многоугольником, а остальные грани — треугольники с общей вершиной. Многоугольник называют основанием, а общую вершину треугольников — вершиной пирамиды. Эти два элемента помогают понять, как устроен весь многогранник: основание задаёт его форму, а вершина соединяет боковые части.

Основание пирамиды — многоугольная грань, от которой строятся боковые грани. Пирамиду называют по форме основания: например, треугольной или четырёхугольной. Название сразу сообщает, какой многоугольник лежит в основании, поэтому не нужно угадывать вид пирамиды по её боковым граням.

Боковые грани пирамиды — треугольники с общей вершиной. У каждого такого треугольника одна сторона совпадает с одной стороной основания, а две другие являются боковыми рёбрами. Благодаря этому боковые грани соединяются друг с другом и с основанием без промежутков.

Боковые рёбра соединяют вершину пирамиды с вершинами основания. Их не следует путать с рёбрами основания: последние образуют стороны многоугольника. Различие полезно при подсчёте элементов и чтении обозначений, где вершину обычно указывают первой, например SABC.

Как это устроено

Чтобы представить пирамиду, сначала выбери многоугольник и точку, которая не лежит в его плоскости. Соедини эту точку отрезками со всеми вершинами многоугольника. Каждый отрезок станет боковым ребром, а вместе с одной стороной основания он образует треугольную грань. Точка вне плоскости нужна, чтобы получилась объёмная фигура, а не плоский набор отрезков.

Основание и боковые грани вместе ограничивают многогранник, потому что каждой стороне основания соответствует отдельный треугольник. Сторона основания становится одним из рёбер этого треугольника, а соседние треугольники встречаются по боковым рёбрам. Если мысленно пройти вокруг основания, все его стороны окажутся закрыты боковыми гранями. Так получается замкнутая поверхность пирамиды.

Число сторон основания определяет количество боковых граней и боковых рёбер. Для каждой стороны строится свой треугольник, поэтому число боковых граней равно числу сторон. Каждой вершине основания соответствует боковое ребро, проведённое к вершине пирамиды, — их количество также равно числу сторон. У основания с n сторонами получается n таких граней и n таких рёбер.

Пирамиду обычно обозначают буквой её вершины, а затем буквами вершин основания, например SABC. Первая буква S указывает на вершину пирамиды, а оставшиеся A, B и C перечисляют вершины основания. Значит, основание здесь — треугольник ABC, а боковые рёбра — SA, SB и SC. Такой порядок записи помогает не перепутать вершину с вершинами основания.

Название вида пирамиды зависит не от положения вершины и не от длины рёбер, а от формы основания. Если основание — треугольник, пирамида треугольная; если четырёхугольник — четырёхугольная. По тому же правилу бывают пятиугольные и другие пирамиды. Число сторон основания позволяет определить вид даже тогда, когда сама фигура нарисована под необычным углом.

Элементы и виды пирамид

Чтобы пользоваться таблицей, сначала найди число сторон основания и обозначь его буквой n. Затем подставь это число в строки о боковых гранях и рёбрах. Для общего числа граней прибавь к ним основание: поэтому получается n + 1.

Разбор задач

Задача 1. У пирамиды основание — пятиугольник. Сколько у неё боковых граней, боковых рёбер и всего граней? Сначала определим число сторон основания: у пятиугольника их пять. Каждой стороне соответствует боковой грань, а общее число граней включает ещё и основание.

1. Пятиугольник имеет 5 сторон, значит, боковых граней тоже 5.
2. В основании 5 вершин, поэтому от вершины пирамиды к ним идут 5 боковых рёбер.
3. К пяти боковым граням добавляем одно основание: 5 + 1 = 6 граней.

Ответ: 5 боковых граней, 5 боковых рёбер, 6 граней всего. Число боковых элементов совпало с числом сторон основания. Отдельно прибавить основание нужно только при подсчёте общего числа граней.

Задача 2. Дана пирамида SABC. Назовите её основание, вершину, боковые грани и боковые рёбра. В обозначении сначала записана вершина пирамиды, а остальные буквы относятся к основанию. По ним можно последовательно восстановить все элементы, не ориентируясь на рисунок.

1. Первая буква S — вершина пирамиды.
2. Буквы A, B и C обозначают вершины основания, значит, основание — треугольник ABC.
3. Соединим S с каждой вершиной основания: боковые рёбра — SA, SB и SC.
4. Каждой стороне ABC соответствует боковой грань: SAB, SBC и SCA.

Ответ: основание — ABC, вершина — S, боковые грани — SAB, SBC и SCA, боковые рёбра — SA, SB и SC. В основании три стороны, поэтому и боковых граней, и боковых рёбер три. При чтении обозначения важно не считать первую букву вершиной основания.

Задача 3. Многогранник имеет одно четырёхугольное основание и четыре треугольные грани, сходящиеся в одной вершине. Объясните, почему это пирамида, и назовите её вид. Проверим признаки: у фигуры есть многоугольное основание, а боковые грани являются треугольниками с общей вершиной. Такое соединение граней соответствует определению пирамиды.

1. Четырёхугольник является многоугольником и служит основанием.
2. Четыре треугольника сходятся в одной общей вершине, то есть образуют боковые грани пирамиды.
3. Название определяем по форме основания: оно четырёхугольное.

Ответ: это четырёхугольная пирамида. Четыре боковые грани согласуются с четырьмя сторонами основания, а общая вершина треугольников находится вне плоскости основания. Именно эти признаки позволяют отнести фигуру к пирамидам.

Типичные ошибки

Иногда вершину пирамиды принимают за одну из вершин основания. Это происходит потому, что на рисунке все вершины показаны рядом, но вершина пирамиды — общая точка боковых треугольников вне плоскости основания. Чтобы проверить себя, найди многоугольник основания: его вершины лежат в одной плоскости, а вершина пирамиды — нет.

Другой промах — назвать основанием одну из треугольных боковых граней. Треугольники заметны на рисунке, поэтому их легко принять за основание, однако основание — многоугольник, от которого строятся эти грани. Проверь, какая грань противопоставлена общей вершине боковых треугольников: это и есть основание.

Боковые рёбра иногда путают с рёбрами основания. Причина в том, что оба вида рёбер соединяют вершины многогранника, но боковые рёбра обязательно идут от вершины пирамиды к вершинам основания. Для проверки проследи концы каждого отрезка: если оба находятся в основании, это его ребро; если один конец — вершина пирамиды, это боковое ребро.

Пирамиду могут назвать по числу боковых граней, не уточнив форму основания. Число боковых граней показывает количество сторон основания, но вид пирамиды определяется именно многоугольником-основанием. Сначала назови его форму, а затем классифицируй фигуру: например, четырёхугольное основание означает четырёхугольную пирамиду.

Связь с другими темами

Для изучения пирамиды нужны знания о многоугольниках: их вершинах и сторонах. Также пригодятся понятия грани, ребра и вершины многогранника, поскольку пирамида состоит из таких элементов. Если эти слова знакомы, можно проследить, как отдельные грани соединяются в объёмную фигуру.

Понимание устройства пирамиды понадобится при изучении площади её поверхности и объёма. Сначала нужно различать основание и боковые грани, а затем учитывать их при вычислениях. Те же сведения помогают решать задачи о многогранниках и правильно считать их элементы.

Что запомнить

• Основание пирамиды — многоугольник.
• Все боковые грани пирамиды — треугольники с общей вершиной.
• Боковые рёбра соединяют вершину пирамиды с вершинами основания.
• Число боковых граней равно числу сторон основания.
• Пирамиду называют по форме её основания.
• У пирамиды с n-угольным основанием n боковых граней и n боковых рёбер.