"Геометрия", Козлова С.А., Рубин А.Г., Гусев В.А.
Развёртка поверхности пирамиды — это плоская фигура, в которой можно увидеть все её грани, раскрытые без наложений. Она помогает представить, как плоские части соединяются в объёмную пирамиду, построить её модель и вычислить площадь поверхности. В полной развёртке есть основание и все боковые треугольники. При складывании размеры граней и рёбер сохраняются, а их расположение меняется.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Развёртка поверхности пирамиды — плоская фигура, полученная размещением всех граней пирамиды в одной плоскости без наложений. Иначе говоря, это чертёж, который можно сложить и получить исходную пирамиду. Развёртка нужна, чтобы представить устройство объёмной фигуры на листе и рассчитать, сколько материала потребуется для её модели.
Боковая поверхность пирамиды — совокупность всех её треугольных боковых граней. Каждая такая грань соединяет сторону основания с вершиной пирамиды. Это понятие помогает отдельно рассматривать и находить площадь боковых граней, не включая в неё основание.
Полная поверхность пирамиды — основание вместе с боковой поверхностью; её развёртка включает многоугольник основания и все боковые грани. Поэтому для полной развёртки нужно учесть каждую грань ровно один раз. Такое определение помогает не забыть основание при подсчёте общей площади поверхности.
Пирамиду можно представить на плоскости, потому что её поверхность состоит из отдельных плоских граней, соединённых рёбрами. Каждую грань уже можно нарисовать на листе без изменения её формы. Если раскрыть их так, чтобы они оказались рядом и не перекрывались, получится плоская фигура, соответствующая поверхности пирамиды.
Чтобы получить развёртку, мысленно разрезают часть рёбер и раскрывают грани вокруг тех рёбер, которые оставили соединяющими. Неразрезанное ребро работает как линия сгиба: соседние грани поворачиваются вокруг неё. Разрезы освобождают грани от объёмного положения, поэтому их можно разложить на плоскости. Если разрезать слишком мало рёбер, поверхность может остаться связанной и не раскрыться на плоскость.
Размеры граней и длины рёбер в развёртке сохраняются, потому что грани не растягивают и не сжимают, а только поворачивают. Меняется их взаимное расположение: в пирамиде грани наклонены друг к другу, а на развёртке лежат в одной плоскости. Это различие важно при построении: например, боковой треугольник должен иметь те же стороны и высоту, что и соответствующая грань пирамиды.
Чтобы проверить, может ли плоская фигура быть развёрткой, сначала находят многоугольник основания и считают его стороны. К каждой стороне основания должна подходить боковая треугольная грань, поэтому число треугольников должно совпадать с числом сторон. Затем проверяют длины рёбер, которые при складывании встретятся: они должны быть равны, иначе грани не соединятся. Наконец, мысленно складывают фигуру и убеждаются, что грани не накладываются.
По развёртке пирамиду восстанавливают, сгибая боковые грани по сторонам основания и соединяя их свободные края у вершины. Чтобы найти площадь полной поверхности, считают площадь основания и каждой боковой грани, а затем складывают результаты: S = Sосн + Sбок. Площадь треугольной грани можно найти по формуле S = ½ah, где a — основание треугольника, а h — высота к нему. Такой способ работает, потому что развёртка содержит все грани пирамиды без наложений.
| Элемент развёртки | Что представляет | Как распознать | Что позволяет определить |
|---|---|---|---|
| Основание | Многоугольник основания пирамиды | Центральный или крайний многоугольник | Форму и площадь основания |
| Боковые грани | Треугольники, прикреплённые к сторонам основания | Число треугольников равно числу сторон основания | Площадь боковой поверхности |
| Общие рёбра | Рёбра, по которым грани соединяются при складывании | Имеют одинаковую длину на соприкасающихся гранях | Возможность правильно собрать пирамиду |
| Граница развёртки | Свободные рёбра внешнего контура | Не соединяются с другими гранями | Форму плоской фигуры развёртки |
| Полная развёртка | Основание и все боковые грани вместе | Содержит все грани пирамиды без наложений | Площадь полной поверхности |
Пользуйтесь таблицей как списком проверок: найдите основание, сопоставьте с ним боковые грани и проверьте общие рёбра. По строке о полной развёртке можно убедиться, что учтены все части поверхности. Для вычисления площади сложите площади основания и всех боковых граней.
Условие. Изображены четыре треугольника, соединённые с одним квадратом по его сторонам. Определите, может ли полученная фигура быть развёрткой четырёхугольной пирамиды. Одного подсчёта граней достаточно для первой проверки, но для окончательного ответа нужно также проверить соединения. Сопоставим данные с устройством пирамиды.
Ответ. По числу граней фигура подходит для развёртки четырёхугольной пирамиды. Она действительно является развёрткой, если совпадающие при складывании рёбра равны и грани не накладываются. По одному только числу треугольников нельзя проверить эти дополнительные условия.
Условие. Постройте развёртку правильной четырёхугольной пирамиды, если сторона основания равна 4 см, а боковое ребро — 6 см. Правильная четырёхугольная пирамида имеет квадрат в основании и четыре одинаковые боковые грани. Значит, сначала строим основание, а затем присоединяем к нему четыре равных треугольника.
Ответ. Развёртка состоит из квадрата со стороной 4 см и четырёх равнобедренных треугольников со сторонами 6 см, 6 см и 4 см. Рёбра, по которым треугольники присоединены к квадрату, равны его сторонам. При складывании боковые грани встретятся по рёбрам длиной 6 см.
Условие. Развёртка состоит из квадрата со стороной 5 см и четырёх равных треугольников с основанием 5 см и высотой 6 см. Нужно найти площадь полной поверхности пирамиды. Удобно отдельно посчитать площадь основания и площадь всех боковых граней.
Ответ. Площадь полной поверхности пирамиды равна 85 см². Здесь площадь развёртки совпадает с площадью полной поверхности, потому что все грани представлены без наложений. Если бы основание не было включено, получилось бы только 60 см² — площадь боковой поверхности.
Первая ошибка — считать развёрткой фигуру с лишними или недостающими треугольниками. Её допускают, если не связывают число боковых граней с числом сторон основания. Для проверки пересчитайте стороны основания и сравните их количество с числом боковых треугольников.
Вторая ошибка — соединять грани рёбрами разной длины. На рисунке такая фигура может казаться подходящей, но при складывании края не совпадут. Сверьте длины каждой пары рёбер, которые должны стать одним ребром пирамиды.
Третья ошибка — путать развёртку боковой поверхности с полной развёрткой и забывать основание. Такое случается, когда внимание сосредоточено на треугольниках вокруг вершины. Проверьте, есть ли на плоской фигуре основание и входят ли в неё все грани пирамиды.
Четвёртая ошибка — находить площадь только одного треугольника или только боковой поверхности, хотя спрашивают площадь полной поверхности. Нужно учитывать каждую грань, включая основание, и сложить все площади. Перед ответом составьте перечень граней и напротив каждой отметьте, что её площадь учтена.
Для работы с развёртками нужно знать виды пирамид, а также названия и свойства их граней, рёбер и вершин. Ещё понадобятся формулы площадей треугольника и многоугольника: без них нельзя вычислить площадь каждой части поверхности. Эти знания помогают понять, какие именно фигуры надо строить и измерять.
Развёртка пригодится при вычислении площади поверхности многогранников и изготовлении моделей пирамид. По ней можно заранее разметить материал, вырезать грани и соединить их по рёбрам. В дальнейшем этот подход используют для нахождения площадей поверхностей других многогранников и решения задач о пространственных фигурах.
Почему у одной пирамиды может быть несколько разных развёрток?
Грани можно раскрывать вокруг разных рёбер и располагать на плоскости разными способами. Если все грани соединяются по нужным рёбрам, не накладываются и при складывании образуют пирамиду, каждая такая фигура является её развёрткой.
Как понять, что данная плоская фигура не является развёрткой пирамиды?
Проверьте, есть ли одно многоугольное основание и столько ли вокруг него боковых треугольников, сколько у основания сторон. Затем сравните длины рёбер, которые должны совпасть при складывании, и убедитесь, что грани не накладываются.
Обязательно ли основание должно находиться в центре развёртки?
Нет, оно может быть как в центре, так и у края фигуры. Важно не положение на листе, а то, чтобы к его сторонам были присоединены все боковые грани и фигуру можно было сложить.
Почему совпадающие рёбра развёртки должны иметь одинаковую длину?
При складывании такие рёбра станут одним и тем же ребром пирамиды. Если их длины различаются, края граней не совпадут, поэтому правильно собрать фигуру не получится.
Как по развёртке найти площадь полной поверхности пирамиды?
Найдите площадь основания и площадь каждой боковой грани. Затем сложите все полученные площади: площадь полной поверхности равна площади основания плюс сумма площадей боковых треугольников.
4.2. Развёртки поверхностей пирамид
