4.3. Общее представление о правильных многогранниках

Определения и обозначения

Правильный многогранник — выпуклый многогранник, все грани которого являются равными правильными многоугольниками, а в каждой вершине сходится одно и то же число граней. Выпуклость означает, что отрезок между любыми двумя точками тела целиком лежит внутри него. Равенство граней и одинаковое устройство вершин нужны, чтобы тело было одинаково устроено во всех направлениях.

Грань — многоугольник, ограничивающий многогранник; ребро — отрезок, по которому встречаются две грани; вершина — точка, где сходятся рёбра и грани. Каждое ребро принадлежит ровно двум граням. Эти элементы связаны: у каждой грани есть стороны-рёбра и вершины, а число граней при вершине совпадает с числом выходящих из неё рёбер.

Существует пять видов правильных многогранников: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр. Их названия связаны прежде всего с формой и количеством граней. Сравнивая эти тела, можно увидеть, как изменение формы грани меняет всё строение многогранника.

Как это устроено

Одинаковых правильных граней ещё недостаточно. Например, тело может быть составлено из правильных многоугольников, но в одной вершине сходиться три грани, а в другой — четыре. Тогда вершины устроены по-разному, поэтому многогранник не считается правильным.

В каждой вершине должны сходиться как минимум три грани: две грани образуют только плоский угол, а не пространственную вершину. Сумма плоских углов при вершине должна быть меньше 360°. При равенстве грани распрямляются в плоскость, а при большей сумме выпуклая вершина не образуется.

Для правильных треугольников угол равен 60°, для квадратов — 90°, для правильных пятиугольников — 108°. Поэтому из треугольников можно собрать вершину с тремя, четырьмя или пятью гранями: суммы равны 180°, 240° и 300°. Три квадрата дают 270°, а три правильных пятиугольника — 324°.

Другие правильные многоугольники уже не подходят. У правильного шестиугольника угол равен 120°, и даже три таких угла дают 360°, то есть плоскую фигуру. У многоугольников с большим числом сторон угол ещё больше, поэтому выпуклую вершину из них составить нельзя.

Получаются только пять сочетаний: три треугольника образуют вершины тетраэдра, четыре треугольника — октаэдра, пять треугольников — икосаэдра, три квадрата — куба, три пятиугольника — додекаэдра. Другие сочетания не проходят проверку суммой углов. Так геометрическое условие объясняет, почему правильных многогранников ровно пять.

Тела различаются формой граней и их количеством. Тетраэдр и октаэдр имеют треугольные грани, но у октаэдра их вдвое больше; куб имеет квадратные грани, а додекаэдр — пятиугольные. Икосаэдр состоит из 20 треугольников и имеет пять граней в каждой вершине, поэтому его поверхность выглядит более «гранёной».

Пять правильных многогранников и их элементы

По таблице удобно сравнивать тела сначала по форме граней, а затем по их количеству. Последний столбец показывает устройство вершины и помогает отличить, например, куб от октаэдра. Числа граней, рёбер и вершин связаны между собой, поэтому некоторые данные можно проверить вычислением.

Разбор задач

Задача 1. Проверка определения

Дан выпуклый многогранник с равными квадратными гранями, причём в каждой вершине сходятся три грани. Нужно определить, является ли он правильным. Проверим не одно свойство, а все условия определения.

1. Грани имеют форму квадратов, значит, они являются правильными многоугольниками.
2. По условию все квадраты равны, поэтому первое условие выполнено.
3. Многогранник выпуклый, а в каждой вершине сходятся одинаковые три грани.

Ответ: да, такой многогранник является правильным. По своим свойствам он совпадает с кубом.

Задача 2. Проверка углов

Можно ли составить правильный многогранник, если в каждой вершине сходятся три правильных шестиугольника? Нужно проверить, получится ли выпуклая пространственная вершина.

1. Угол правильного шестиугольника равен 120°.
2. Три угла при вершине дают 3 · 120° = 360°.
3. Сумма не меньше 360°, поэтому грани не образуют выпуклую вершину: при 360° они укладываются плоско.

Ответ: нет, такой правильный многогранник составить нельзя. Для него нарушается условие суммы углов при вершине.

Задача 3. Элементы икосаэдра

У икосаэдра 20 граней, каждая грань — правильный треугольник, а в каждой вершине сходятся пять граней. Найдём число рёбер и вершин.

1. В каждой грани 3 ребра, поэтому считаем пары «грань — ребро»: 20 · 3 = 60.
2. Каждое ребро принадлежит двум граням, значит, число рёбер равно 60 : 2 = 30.
3. Считаем пары «грань — вершина»: 20 · 3 = 60. В каждой вершине встречаются пять граней, поэтому число вершин равно 60 : 5 = 12.

Ответ: у икосаэдра 30 рёбер и 12 вершин. Деление на 2 для рёбер обязательно, потому что каждое ребро посчитано со стороны двух граней.

Типичные ошибки

Считать многогранник правильным только по правильности его граней — ошибка. Грани могут быть правильными, но неравными или по-разному расположенными в вершинах. Проверьте выпуклость, равенство граней и одинаковое число граней при каждой вершине.

Число граней при вершине часто путают с числом рёбер, выходящих из неё. Для многогранника эти числа совпадают, но первое обозначает грани, а второе — рёбра. Чтобы не ошибиться, перечислите отдельно поверхности и отрезки, встречающиеся в точке.

Нельзя соединять вокруг вершины любые правильные многоугольники. Причина ошибки — проверяют форму граней, но забывают про углы. Сложите плоские углы: результат должен быть меньше 360°.

При подсчёте рёбер иногда делят число пар «грань — ребро» на число граней при вершине. Это неверно, потому что каждое ребро принадлежит ровно двум граням. Поэтому число таких пар всегда делят на 2.

Связь с другими темами

Для понимания правильных многогранников нужны определения многоугольника, правильного многоугольника, многогранника, грани, ребра и вершины. Также пригодится умение находить углы правильных многоугольников и складывать их при общей вершине.

Эта тема помогает дальше изучать развёртки и сечения многогранников: по форме граней легче представить их поверхность и разрезы. Те же сведения используются при вычислении объёмов тел и создании пространственных моделей.

Что запомнить

• Правильный многогранник выпуклый.
• Его грани — равные правильные многоугольники.
• В каждой вершине сходится одинаковое число граней.
• Сумма углов граней при вершине меньше 360°.
• Существует ровно пять видов правильных многогранников.
• У каждого ребра две грани.