2.1. Многоугольники

Определения и обозначения

Многоугольник — фигура, ограниченная замкнутой ломаной, то есть цепочкой отрезков, конец последнего из которых соединён с началом первого. Число сторон задаёт название фигуры: у треугольника три стороны, у четырёхугольника — четыре, у пятиугольника — пять. Такое название помогает сразу понять, сколько основных отрезков образуют границу.

Вершина многоугольника — точка, в которой заканчиваются две стороны. Вершины обычно обозначают заглавными латинскими буквами и перечисляют по порядку обхода границы: ABCDE. По буквам можно описывать сам многоугольник и указывать, какие его элементы рассматриваются.

Сторона многоугольника — один из отрезков его границы. Две вершины называют соседними, если они соединены стороной; например, в пятиугольнике ABCDE вершины A и B соседние. Это различие нужно, чтобы не перепутать отрезки границы с диагоналями, проведёнными через фигуру.

Диагональ многоугольника — отрезок, соединяющий две несоседние вершины. Например, в четырёхугольнике ABCD отрезок AC является диагональю, потому что A и C не соединены стороной. Диагонали позволяют изучать внутреннее строение многоугольника и разбивать его на треугольники.

Как это устроено

Замкнутая ломаная образует границу многоугольника: она проходит по сторонам и возвращается в начальную точку, не оставляя открытых концов. Точки внутри фигуры отделены этой границей от точек снаружи, поэтому граница вместе с внутренними точками составляет многоугольник. Такое различие нужно, например, чтобы понимать, где лежит диагональ и что именно считается внутренней областью фигуры.

Многоугольник называют выпуклым, если отрезок, соединяющий любые две его точки, целиком лежит внутри фигуры или на её границе. Причина такого определения в том, что у выпуклой фигуры нет «впадин», из-за которых соединяющий точки отрезок мог бы выйти наружу. Это свойство позволяет проводить диагонали внутри многоугольника и надёжно делить его на треугольники.

Выберем одну вершину выпуклого n-угольника. Диагональ нельзя провести к самой выбранной вершине, а две соседние вершины уже соединены с ней сторонами, поэтому диагонали идут к оставшимся вершинам. Всего из одной вершины выходит n − 3 диагонали; они не пересекаются между собой внутри выпуклой фигуры и разделяют её на части.

Получившихся частей ровно n − 2, и каждая из них — треугольник. Это можно увидеть при добавлении вершин: у треугольника частей одна, а каждый новый угол многоугольника добавляет ещё одну треугольную область. Поэтому число частей на два меньше числа сторон; диагонали образуют границы между этими треугольниками.

Сумма внутренних углов выпуклого многоугольника равна сумме углов всех треугольников, на которые он разбит. В каждом треугольнике сумма углов составляет 180°, а треугольников n − 2, значит, общая сумма равна (n − 2) · 180°. Формула не требует, чтобы стороны или углы были равны: достаточно, чтобы многоугольник был выпуклым.

Элементы многоугольника

Сначала найдите на границе точки, где сходятся стороны: это вершины. Затем определите, какие отрезки идут по границе, а какие соединяют несоседние вершины внутри фигуры.

Если сомневаетесь, сравните концы отрезка: соседние вершины образуют сторону, несоседние — диагональ. Для выпуклого многоугольника диагональ проходит внутри фигуры.

Разбор задач

Вершины, стороны и диагональ

На рисунке дан многоугольник ABCDE. Назовите его вершины, стороны и одну диагональ. Буквы перечислены по порядку обхода границы, поэтому сначала определим, какие точки стоят рядом, а затем выберем пару несоседних вершин.

1. Вершины — точки, обозначенные буквами A, B, C, D и E.

2. Стороны соединяют соседние вершины по порядку: AB, BC, CD, DE и EA.

3. Чтобы назвать диагональ, выберем несоседние вершины, например A и C. Отрезок AC не лежит на границе, значит, это диагональ.

Ответ: вершины A, B, C, D, E; стороны AB, BC, CD, DE, EA; одна из диагоналей — AC. Можно было назвать и другую диагональ, например AD: её концы также не соседние.

Диагонали семиугольника

Сколько диагоналей можно провести из одной вершины выпуклого семиугольника и на сколько треугольников они его разобьют? Пусть выбрана одна вершина; считать будем только отрезки от неё, а не все диагонали фигуры.

1. У семиугольника n = 7 вершин.

2. Не проводим отрезок к самой выбранной вершине и к двум соседним. Поэтому число диагоналей из неё равно n − 3 = 7 − 3 = 4.

3. Число треугольников при таком разбиении равно n − 2 = 7 − 2 = 5.

Ответ: из одной вершины выходят 4 диагонали, они разбивают семиугольник на 5 треугольников. Проверка: для выпуклого многоугольника к выбранной вершине всегда остаются все вершины, кроме неё самой и двух соседних.

Углы девятиугольника

Найдите сумму внутренних углов выпуклого девятиугольника, а затем каждый угол, если многоугольник правильный. Сначала найдём общую сумму по числу сторон, после чего воспользуемся тем, что у правильного многоугольника все углы равны.

1. Подставим n = 9 в формулу: (n − 2) · 180°.

2. Получим (9 − 2) · 180° = 7 · 180° = 1260°.

3. У правильного девятиугольника девять равных углов, поэтому разделим сумму на 9: 1260° : 9 = 140°.

Ответ: сумма внутренних углов равна 1260°, каждый угол правильного девятиугольника равен 140°. Делить сумму на число углов можно только после условия о правильности, которое гарантирует равенство всех углов.

Типичные ошибки

Диагональю иногда называют отрезок между соседними вершинами, потому что он тоже соединяет две вершины. Но такой отрезок лежит на границе и является стороной. Проверьте, соседствуют ли концы: если они соединены по границе, это сторона, а не диагональ.

При подсчёте диагоналей из одной вершины можно случайно учесть стороны, и тогда получится неверное число. Обычно это происходит, если считать все соединения с другими вершинами, не проверяя их соседство. Исключите выбранную вершину и двух её соседей: останется n − 3 возможных концов диагоналей.

В формуле суммы углов вместо (n − 2) иногда используют n, будто каждой стороне соответствует отдельный треугольник. Однако разбиение из одной вершины даёт n − 2 треугольника, и именно их углы складываются. Для проверки подставьте n = 3: формула должна дать сумму углов обычного треугольника, то есть 180°.

Формулу суммы углов порой применяют только к правильным многоугольникам, потому что их углы равны и вычисления кажутся проще. На самом деле правильность нужна лишь для нахождения одного угла делением суммы на n. Сумма (n − 2) · 180° получается из разбиения на треугольники и верна для любого выпуклого n-угольника.

Связь с другими темами

Для изучения многоугольников нужны понятия отрезка, ломаной, угла и треугольника, а также знание о том, что сумма углов треугольника равна 180°. Без этого нельзя обосновать формулу суммы углов многоугольника через разбиение на треугольники. Поэтому полезно сначала уверенно различать стороны ломаной и углы, образованные соседними сторонами.

Эти определения и формулы пригодятся при изучении правильных многоугольников: по общей сумме углов можно находить каждый угол правильной фигуры. Они также помогают решать задачи на площади, поскольку диагонали делят многоугольник на более простые фигуры. Знание числа диагоналей и треугольников упрощает описание такого разбиения.

Что запомнить

• Многоугольник ограничен замкнутой ломаной.
• Соседние вершины соединены стороной.
• Диагональ соединяет несоседние вершины.
• Из одной вершины выпуклого n-угольника выходит n − 3 диагонали.
• Диагонали из одной вершины разбивают выпуклый n-угольник на n − 2 треугольника.
• Сумма внутренних углов выпуклого n-угольника равна (n − 2) · 180°.