2.2. Правильные многоугольники

Определения и обозначения

Правильный многоугольник — это многоугольник, у которого одновременно равны все стороны и все углы. Одного равенства сторон недостаточно: должны совпадать и углы. Например, у ромба стороны равны, но углы могут быть разными, поэтому ромб не всегда правильный. Это определение помогает сразу проверить, обладает ли фигура всеми свойствами правильного многоугольника.

Центр правильного многоугольника — точка, равноудалённая от всех его вершин. Окружность с центром в этой точке и проходящая через вершины называется описанной окружностью, поэтому центр многоугольника совпадает с её центром. Это обозначение удобно, когда нужно связать вершины фигуры с радиусом окружности.

Центральный угол правильного многоугольника — угол с вершиной в его центре, стороны которого проходят через две соседние вершины. Таких углов столько же, сколько сторон у многоугольника. Они нужны, чтобы находить углы и определять, какую часть окружности занимает одна сторона фигуры.

Апофема правильного многоугольника — перпендикуляр, проведённый из центра к одной из его сторон. Расстояние от центра до каждой стороны одинаково, а его длина равна радиусу вписанной окружности. Апофема позволяет находить площадь: она становится высотой треугольников, из которых складывается многоугольник.

Как это устроено

У правильного многоугольника все вершины расположены симметрично относительно центра. Если провести окружность через одну вершину, то поворот вокруг центра на одинаковый угол переносит каждую вершину в следующую, не меняя фигуру. Поэтому все вершины находятся на одинаковом расстоянии от центра, и через них проходит описанная окружность. Перпендикуляры из центра к сторонам также равны: соответствующие треугольники равны по симметрии, значит, существует и вписанная окружность.

Вокруг центра сходятся n центральных углов — по одному для каждой пары соседних вершин. Вместе они образуют полный угол, то есть 360°. Из-за одинаковости сторон и углов правильный многоугольник делится лучами к вершинам на равные части, поэтому все центральные углы равны. Значит, величина одного такого угла равна 360°/n, где n — число сторон.

Сумма внутренних углов любого n-угольника равна (n − 2)·180°. В правильном многоугольнике углы равны, поэтому сумму достаточно разделить поровну на n частей. Так получается формула внутреннего угла: (n − 2)·180°/n. Она описывает угол внутри фигуры, а не угол между радиусами к соседним вершинам.

Если соединить центр с концами стороны и опустить на неё перпендикуляр, сторона разделится пополам. Получится прямоугольный треугольник: гипотенуза — радиус описанной окружности R, один катет — апофема r, другой — половина стороны a/2. По теореме Пифагора R² = r² + (a/2)², поэтому из двух известных длин можно найти третью. Например, r = √(R² − (a/2)²), если известны радиус и сторона.

Соединим центр со всеми вершинами: многоугольник разобьётся на треугольники, основания которых составляют его стороны. Высота каждого треугольника равна апофеме r, так как она перпендикулярна основанию. Сумма площадей треугольников равна половине произведения r на сумму оснований, а сумма оснований — это периметр P. Поэтому площадь правильного многоугольника S = Pr/2.

Элементы и формулы правильного n-угольника

Сначала определи, какие величины известны и что требуется найти, а затем выбери подходящую строку таблицы. Буква n обозначает число сторон, a — длину стороны, R — радиус описанной окружности, r — апофему. Не смешивай радиус R и апофему r: они являются разными катетами и гипотенузой одного прямоугольного треугольника.

Разбор задач

Задача 1. Найдите центральный и внутренний углы правильного десятиугольника. В условии сказано, что многоугольник правильный, значит, его углы равны, а центральные углы между соседними вершинами тоже равны. Число сторон n = 10. Сначала найдём долю полного угла, приходящуюся на одну сторону, затем вычислим внутренний угол по формуле суммы углов.

1. Центральный угол равен 360°/n = 360°/10 = 36°.
2. Внутренний угол равен (n − 2)·180°/n = (10 − 2)·180°/10 = 144°.
3. Проверим, что центральный и внутренний углы не перепутаны: 36° относится к центру, а 144° находится внутри многоугольника.

Ответ: центральный угол равен 36°, внутренний — 144°.

Задача 2. Сторона правильного шестиугольника, вписанного в окружность, равна 6 см. Найдите радиус окружности. Проведём из центра окружности радиусы к концам стороны. Получится треугольник с двумя сторонами-радиусами и третьей стороной, равной стороне шестиугольника. Центральный угол равен 360°/6 = 60°, поэтому в треугольнике все три угла равны 60°.

1. Обозначим радиус окружности буквой R. Две стороны треугольника равны R, а третья сторона равна 6 см.
2. Треугольник с углами по 60° равносторонний, следовательно, все его стороны равны.
3. Значит, R = 6 см. Проверка проста: каждый из шести равных треугольников имеет сторону 6 см, поэтому длина окружности разбивается на шесть одинаковых хорд.

Ответ: радиус окружности равен 6 см.

Задача 3. Периметр правильного многоугольника равен 48 см, апофема — 5 см, длина стороны — 8 см. Найдите площадь и число сторон. Для площади уже даны периметр и апофема, а для числа сторон нужно сопоставить периметр с длиной одной стороны. Это два независимых вычисления, оба используют свойства правильного многоугольника.

1. Площадь равна S = Pr/2 = 48·5/2 = 120 см².
2. Периметр состоит из n одинаковых сторон, поэтому P = na и n = P/a.
3. Подставим данные: n = 48/8 = 6. Получилось целое положительное число, как и должно быть для числа сторон.

Ответ: площадь равна 120 см², число сторон — 6.

Типичные ошибки

Первая ошибка — считать правильным любой многоугольник с равными сторонами. Так рассуждают, потому что длины сторон заметны на чертеже, а равенство углов легко упустить. Проверь оба условия отдельно: измерь или обоснуй равенство сторон и углов. Если равны только стороны, этого недостаточно.

Вторая ошибка — путать центральный угол с внутренним. Оба угла связаны с одним многоугольником, поэтому названия могут смешиваться, но их вершины расположены по-разному: центральный угол находится в центре, внутренний — в вершине фигуры. Для проверки сравни формулы: 360°/n относится к центру, а (n − 2)·180°/n — к внутреннему углу. Например, для шестиугольника это 60° и 120°.

Третья ошибка — подставлять радиус описанной окружности вместо апофемы в формулу площади. Радиус соединяет центр с вершиной, а высота треугольника должна опускаться перпендикулярно на сторону. Поэтому в S = Pr/2 используют апофему r, а не радиус R. Проверь, к чему именно проведён отрезок на схеме: к вершине или к стороне.

Четвёртая ошибка — забывать смысл букв в формуле P = na. Иногда n принимают за длину стороны, хотя n — это число сторон, а a — длина одной стороны. Для самопроверки подставь числа и проследи за единицами: n не имеет единиц измерения, а результат умножения на a должен быть длиной. Если периметр не равен сумме всех одинаковых сторон, вычисление нужно проверить.

Связь с другими темами

Для изучения правильных многоугольников нужно уметь находить сумму углов многоугольника, знать свойства окружности и признаки равенства треугольников. Эти знания объясняют, почему фигуру можно разделить на равные части и как связаны её вершины с центром. Центральные углы и радиусы помогают строить правильные многоугольники и решать задачи о длине окружности. Формула площади через периметр и апофему опирается на формулу площади треугольника и связывает её с площадями многоугольников.

Что запомнить

• Правильный многоугольник имеет равные стороны и равные углы.
• В правильный многоугольник можно вписать окружность и около него можно описать окружность.
• Центральный угол правильного n-угольника равен 360°/n.
• Внутренний угол правильного n-угольника равен (n − 2)·180°/n.
• Периметр правильного многоугольника равен произведению числа сторон на длину стороны: P = na.
• Площадь правильного многоугольника равна половине произведения периметра на апофему: S = Pr/2.