"Геометрия (изд. «Просвещение»)", Александров А.Д., Вернер А.Л. и др.
Правильный многоугольник имеет равные стороны и равные углы. Его можно разбить на равные равнобедренные треугольники, проведя от центра отрезки к вершинам. Поэтому у такой фигуры есть общие центры вписанной и описанной окружностей, а её углы и площадь удобно находить по формулам. Разберём, чем отличаются радиус и апофема, как вычислить углы и как применить свойства правильных многоугольников при решении задач.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Правильный многоугольник — многоугольник, у которого равны все стороны и все углы. Равенства только сторон недостаточно: например, у ромба углы могут различаться. Не достаточно и равенства одних углов, поэтому при проверке фигуры нужны оба условия.
Центр правильного многоугольника — точка, равноудалённая от всех его вершин. Если провести окружность с центром в этой точке и радиусом до любой вершины, она пройдёт через все вершины. Поэтому центр многоугольника одновременно является центром описанной окружности.
Радиус правильного многоугольника — расстояние от его центра до вершины, то есть радиус описанной окружности. Он помогает разбить фигуру на треугольники и находить их углы и стороны. В задачах радиус часто обозначают буквой R.
Апофема — перпендикуляр, опущенный из центра правильного многоугольника на его сторону. Она равна радиусу вписанной окружности, касающейся всех сторон. Апофема нужна, например, чтобы вычислить площадь фигуры по её периметру.
Проведём из центра правильного многоугольника отрезки ко всем вершинам. Получатся треугольники с общей вершиной в центре, а остальные вершины каждого треугольника будут соседними вершинами многоугольника. У этих треугольников равны боковые стороны: все они являются радиусами описанной окружности. Центральные углы тоже равны, поскольку поворот вокруг центра переводит одну сторону правильного многоугольника в соседнюю, не меняя фигуру. Поэтому треугольники равны, и их основания-стороны и углы при основании равны.
Полный угол вокруг центра равен 360°. Он разделён на n равных центральных углов, где n — число сторон, поэтому каждый такой угол равен 360°/n. Центральный угол образован двумя радиусами к соседним вершинам. Внутренний угол образован сторонами многоугольника и лежит внутри фигуры: не смешивай эти два угла. Сумма внутренних углов n-угольника равна 180°(n − 2), а в правильном многоугольнике все они равны, поэтому один внутренний угол равен 180°(n − 2)/n.
Равные расстояния от центра до вершин позволяют провести окружность через все вершины — описанную окружность. Чтобы получить окружность, касающуюся всех сторон, опустим из центра перпендикуляры на стороны. Из равенства треугольников, на которые фигура разбита радиусами, следует, что расстояния от центра до сторон одинаковы. Значит, окружность с таким расстоянием в роли радиуса касается каждой стороны, а её центр совпадает с центром описанной окружности.
Площадь удобно найти по треугольникам, полученным при соединении центра с вершинами. Высота каждого такого треугольника к стороне многоугольника равна апофеме, а сумма оснований всех треугольников равна периметру P. Складывая площади треугольников, получаем S = ½Pa. Эта формула работает для любого правильного многоугольника, если известны его периметр и апофема.
| Характеристика | Значение или свойство |
|---|---|
| Число сторон и вершин | n сторон и n вершин |
| Центральный угол | 360°/n |
| Внутренний угол | 180°(n − 2)/n |
| Описанная окружность и радиус | Проходит через все вершины; радиус — отрезок от центра до вершины |
| Вписанная окружность и апофема | Касается всех сторон; радиус окружности равен апофеме |
| Площадь через периметр и апофему | S = ½Pa |
Сначала определи, какая величина дана и какая требуется: для угла нужны число сторон или формула суммы, а для площади — периметр и апофема. Обозначение n всегда означает число сторон многоугольника. Радиус описанной окружности и апофему не подменяй друг другом.
Условие. Найдите центральный угол правильного восьмиугольника. Центральный угол образован радиусами, проведёнными к двум соседним вершинам. Восьмиугольник имеет восемь равных центральных углов, вместе составляющих полный оборот вокруг центра.
Обозначим число сторон: n = 8. Это число показывает, на сколько равных частей нужно разделить полный угол.
Подставим n в формулу центрального угла: 360°/n = 360°/8. Делим полный угол на восемь равных частей.
Вычислим: 360°/8 = 45°. Проверка: восемь таких углов дают 8 · 45° = 360°.
Ответ: 45°.
Условие. Найдите один внутренний угол правильного двенадцатиугольника. Внутренние углы равны, поэтому достаточно найти их общую сумму и разделить на число углов. Не следует делить 360° на 12: так находят центральный, а не внутренний угол.
В двенадцатиугольнике n = 12. Сумма внутренних углов равна 180°(n − 2).
Подставим число сторон: 180°(12 − 2) = 180° · 10 = 1800°. Это сумма всех двенадцати внутренних углов.
Разделим сумму на 12: 1800°/12 = 150°. Полученное значение относится к каждому углу правильного двенадцатиугольника.
Ответ: 150°.
Условие. Периметр правильного шестиугольника равен 36 см, а апофема — 3√3 см. Нужно найти площадь. Поскольку даны именно периметр и апофема, можно сразу воспользоваться формулой площади правильного многоугольника.
Запишем формулу: S = ½Pa, где P — периметр, а a — апофема. Половина произведения возникает при сложении площадей треугольников, на которые разбит многоугольник.
Подставим данные: S = ½ · 36 · 3√3. Сначала вычислим половину периметра: 36/2 = 18.
Умножим: S = 18 · 3√3 = 54√3 см². Единица площади — квадратный сантиметр, поскольку перемножены длины.
Ответ: 54√3 см².
Многоугольник иногда называют правильным только потому, что у него равны стороны. Так рассуждают, вспоминая ромб, но у ромба углы могут быть неодинаковыми. Проверь и стороны, и углы: оба набора должны состоять из равных величин.
Центральный угол путают с внутренним, потому что оба связаны с вершинами одной фигуры. Первый образован радиусами и находится у центра, а второй образован сторонами и лежит внутри многоугольника. Перед вычислением отметь на чертеже, между какими отрезками расположен нужный угол.
В формуле центрального угла иногда делят 360° на число вершин или сторон неверно, например берут число углов из другой фигуры. У правильного n-угольника вершин, сторон и центральных углов поровну, поэтому формула всегда 360°/n. Проверь результат умножением на n: сумма центральных углов должна составлять 360°.
В формулу площади подставляют радиус описанной окружности вместо апофемы. Это разные отрезки: радиус соединяет центр с вершиной, а апофема перпендикулярна стороне. Подпиши данные на чертеже и убедись, что в произведении S = ½Pa используется расстояние до стороны.
Для изучения правильных многоугольников нужны знания о видах многоугольников и сумме их внутренних углов. Равенство треугольников помогает объяснить, почему части фигуры совпадают, а свойства равнобедренных треугольников — разобраться в углах. Знание окружности позволяет понять, что значит вписать окружность в многоугольник или описать её около него.
Эти свойства применяют, когда нужно вычислить площади многоугольников или найти радиусы вписанной и описанной окружностей. Они также помогают строить геометрические чертежи и проверять симметрию фигур. Формулы углов и площади сводят такие задачи к известным величинам: числу сторон, периметру и апофеме.
Можно ли считать ромб правильным многоугольником?
Не каждый ромб правильный: у него равны все стороны, но углы могут быть разными. Правильным ромбом будет только квадрат, у которого равны и стороны, и углы.
Чем радиус правильного многоугольника отличается от апофемы?
Радиус соединяет центр многоугольника с его вершиной. Апофема — перпендикуляр от центра к стороне; обычно она короче радиуса.
Как быстро найти центральный угол правильного многоугольника?
Нужно разделить 360° на число сторон n: центральный угол равен 360°/n. Например, у правильного восьмиугольника он равен 45°.
Почему у правильного многоугольника есть и вписанная, и описанная окружность?
Центр правильного многоугольника равноудалён от всех вершин, поэтому через вершины проходит описанная окружность. Перпендикуляры от центра к сторонам равны, поэтому окружность с центром в этой же точке касается всех сторон.
Как найти площадь правильного многоугольника, если известны периметр и апофема?
Умножьте периметр на апофему и разделите результат на два: S = ½Pa. Здесь P — периметр, а a — апофема.
§ 15. Правильные многоугольники
