"Геометрия", Шарыгин И.Ф.
Правильный многоугольник — фигура, у которой все стороны и все углы равны. У него есть особый центр: он одинаково удалён от вершин и сторон. Поэтому вокруг такой фигуры можно описать окружность, а внутри неё — вписать окружность. Соединив центр с соседними вершинами, многоугольник делят на равные треугольники. Это помогает находить центральный угол по формуле 360°/n и внутренний угол по формуле 180° − 360°/n.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Многоугольник — замкнутая фигура, составленная из отрезков. Отрезки называют сторонами, точки их соединения — вершинами, а углы внутри фигуры — внутренними углами. Эти названия нужны, чтобы точно описывать фигуру и считать её стороны, вершины и углы.
Правильный многоугольник — многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны. Например, квадрат является правильным четырёхугольником, а произвольный ромб — не всегда. Это определение позволяет отличить фигуру с полной симметрией от фигуры, у которой совпадает только часть свойств.
Центр правильного многоугольника — точка, равноудалённая от всех его вершин и от всех его сторон. Расстояние от центра до вершины называют радиусом описанной окружности, а расстояние до стороны — радиусом вписанной окружности. С помощью центра удобно изучать углы и делить многоугольник на одинаковые части.
Равенство сторон само по себе ещё не делает многоугольник правильным: у ромба все стороны равны, но углы могут быть разными. Равенство углов тоже недостаточно, потому что, например, у прямоугольника все углы прямые, а стороны не обязательно равны. Правильность означает одновременное выполнение обоих условий.
Вокруг правильного многоугольника можно описать окружность. Центр равноудалён от всех вершин, поэтому расстояния от него до вершин одинаковы и могут быть радиусом одной окружности. Значит, каждая вершина лежит на этой окружности, а многоугольник оказывается внутри неё.
В правильный многоугольник можно вписать окружность. Расстояния от центра до всех сторон равны, поэтому окружность с таким центром и радиусом касается каждой стороны. Этот центр лежит на биссектрисах углов, потому что любая точка биссектрисы равноудалена от сторон угла; пересечение таких биссектрис и даёт общий центр.
Если соединить центр с двумя соседними вершинами, получится треугольник. Все такие треугольники равны: у них одинаковые радиусы от центра и одинаковые стороны многоугольника. Полный угол вокруг центра равен 360°, поэтому центральный угол каждого из n треугольников равен 360°/n.
Треугольник с вершиной в центре равнобедренный, так как две его стороны являются радиусами. Его углы при основании равны и вместе составляют 180° − 360°/n. Каждый из них является внутренним углом правильного многоугольника, поэтому он равен 180° − 360°/n и всегда меньше 180°.
В таблице собраны основные признаки и формулы. Буква n обозначает число сторон многоугольника; это же число его вершин и равных частей вокруг центра.
| Что рассматриваем | Описание или формула |
|---|---|
| Условие правильности | Все стороны равны и все внутренние углы равны. |
| Число сторон | n; у многоугольника также n вершин и n внутренних углов. |
| Центр и расстояние до вершин | Центр равноудалён от вершин; это радиус описанной окружности. |
| Центр и расстояние до сторон | Центр равноудалён от сторон; это радиус вписанной окружности. |
| Центральный угол | 360°/n. |
| Внутренний угол | 180° − 360°/n. |
Определить, является ли четырёхугольник со сторонами 3 см, 3 см, 3 см и 3 см правильным, если один из его углов равен 90°. Равенство сторон уже дано, но требуется проверить и вторую часть определения. Одного известного угла для этого пока недостаточно, поэтому используем свойство суммы углов четырёхугольника.
Ответ: да, этот четырёхугольник является квадратом, то есть правильным четырёхугольником.
Найти центральный угол правильного десятиугольника. Вокруг центра образуются десять равных углов, потому что десять равных треугольников заполняют полный угол. Поэтому полный угол нужно разделить на число сторон.
Ответ: центральный угол равен 36°.
Найти внутренний угол правильного пятнадцатиугольника и объяснить, почему он меньше 180°. Сначала определим угол при центре, а затем рассмотрим равнобедренный треугольник, образованный двумя радиусами и стороной многоугольника.
Ответ: внутренний угол равен 156°. Он меньше 180°, потому что из 180° вычитается положительный центральный угол 24°.
Равны только стороны. Ромб или другая фигура с одинаковыми сторонами не обязательно правильная, поскольку её углы могут различаться. Проверяйте оба условия: равенство всех сторон и равенство всех углов.
Перепутаны углы. Центральный угол находится у центра и образован радиусами, а внутренний расположен в вершине многоугольника. Перед вычислением отметьте, где находится вершина нужного угла.
Формула 360°/n используется без смысла. Деление полного угла на число вершин даёт именно центральный угол, потому что вокруг центра расположены равные части. Проверьте, что речь идёт о равных углах вокруг центра.
Центральный угол прибавляют к 180°. В равнобедренном треугольнике два угла при основании получают вычитанием его угла при вершине из 180°. Поэтому внутренняя величина равна 180° − 360°/n, а не сумме.
Для изучения правильных многоугольников нужны понятия стороны, вершины и внутреннего угла, а также свойство равнобедренного треугольника: углы при его основании равны. Полезно уметь находить сумму углов многоугольника и помнить, что полный угол равен 360°.
Эта тема подготавливает изучение окружностей, вписанных и описанных многоугольников. Формулы центральных и внутренних углов пригодятся при построении правильных фигур и вычислении их элементов.
Достаточно ли равенства всех сторон, чтобы многоугольник был правильным?
Нет. У правильного многоугольника должны быть равны и все стороны, и все внутренние углы. Например, ромб имеет равные стороны, но обычно его углы не равны.
Чем центральный угол отличается от внутреннего?
Центральный угол образуют два отрезка, соединяющие центр с соседними вершинами. Внутренний угол находится внутри самого многоугольника, в его вершине.
Почему у правильного многоугольника можно описать окружность?
Центр правильного многоугольника равноудалён от всех его вершин. Значит, все вершины находятся на окружности с этим центром и радиусом, равным расстоянию до вершины.
Как найти внутренний угол правильного многоугольника?
Сначала находят центральный угол: 360°/n. Затем вычитают его из 180°: внутренний угол равен 180° − 360°/n.
Может ли прямоугольник быть правильным многоугольником?
Да, но только если он является квадратом. У квадрата равны все стороны и все углы, а у обычного прямоугольника равны только углы и противоположные стороны.
11.1. Правильные многоугольники
