11. Длина окружности, площадь круга

Определения и обозначения

Длина окружности — величина, показывающая, насколько длинна замкнутая линия окружности; её обозначают буквой C. Представь, что окружность разрезали в одной точке и распрямили: длина получившегося отрезка и есть длина окружности. Она нужна, когда требуется узнать, например, сколько ленты потребуется, чтобы обогнуть круглую площадку.

Число π — отношение длины любой окружности к её диаметру. Это постоянное число, приблизительно равное 3,14, хотя цифры после запятой продолжаются бесконечно. Благодаря π можно находить длину окружности, даже не измеряя её непосредственно. Для точного ответа π обычно оставляют в формуле.

Площадь круга — величина, характеризующая часть плоскости, ограниченную окружностью; её обозначают буквой S. Она показывает, сколько места занимает круг на плоскости, например сколько материала нужно для круглой детали. Площадь измеряют в квадратных единицах: см², м² и других.

Диаметр окружности — отрезок, проходящий через её центр и соединяющий две точки окружности. Его длину обозначают d, а радиус — R; диаметр вдвое больше радиуса, поэтому d = 2R. Зная эту связь, можно перейти от диаметра к радиусу или наоборот. Это важно, потому что в формулах длины и площади используются разные исходные величины.

Как это устроено

Сравним окружности разных размеров: у каждой измерим длину и разделим её на диаметр. Получается одно и то же отношение, потому что при увеличении окружности её длина и диаметр растут одинаково. Например, если все размеры увеличить вдвое, диаметр удвоится и длина тоже удвоится. Это постоянное отношение обозначают числом π.

По определению π = C ÷ d. Умножив обе части на d, получим C = πd — формулу для длины окружности, когда известен диаметр. Поскольку d = 2R, вместо диаметра можно подставить удвоенный радиус: C = π · 2R = 2πR. Выбирай ту запись, для которой в задаче дана нужная величина.

Чтобы понять, откуда берётся формула площади, разделим круг на много узких секторов — частей круга, похожих на кусочки пирога. Если расположить их попеременно вершинами вверх и вниз, получится фигура, похожая на прямоугольник. Чем уже сектора, тем ровнее становятся её верхний и нижний края. При очень большом числе секторов такая фигура всё точнее напоминает прямоугольник.

Одна сторона получившейся фигуры приближённо равна половине длины окружности: C ÷ 2 = 2πR ÷ 2 = πR. Другая сторона равна радиусу R, потому что высота секторов от центра до края круга — это радиус. Площадь прямоугольника равна произведению его сторон, поэтому площадь круга выражается формулой S = πR · R = πR². Именно поэтому радиус в формуле площади возводят в квадрат.

Если радиус увеличить в k раз, то длина C = 2πR увеличится в k раз: радиус входит в формулу в первой степени. В площади S = πR² новый радиус будет равен kR, а его квадрат — k²R². Значит, площадь увеличится в k² раз. Например, при удвоении радиуса длина станет вдвое больше, а площадь — в четыре раза больше.

Величины, связанные с окружностью и кругом

Сначала найди в условии известную величину — радиус или диаметр, — а затем выбери соответствующий столбец с формулой. Для площади в столбце диаметра сначала фактически используется радиус d ÷ 2. Проверяй также единицы: длина окружности получается в сантиметрах или метрах, площадь — в квадратных единицах.

Разбор задач

Задача 1. Найти длину окружности, диаметр которой равен 10 см. Ответ дать с π и приближённо, приняв π ≈ 3,14. Поскольку дан диаметр, удобно использовать формулу C = πd. Сначала запишем точный результат, а затем заменим π его приближённым значением.

1. Записываем формулу для известного диаметра: C = πd. Она подходит, потому что длину окружности нужно найти, а d уже дан.

2. Подставляем d = 10 см: C = π · 10 = 10π см. Это точный ответ с числом π.

Ответ: 10π см, или приблизительно 31,4 см.

Задача 2. Найти площадь круга радиусом 4 см. Здесь известен именно радиус, поэтому используем формулу S = πR². Сначала возводим радиус в квадрат и только потом умножаем результат на π. Так не перепутаем квадрат радиуса с простым умножением на него.

1. Записываем формулу площади: S = πR². Она нужна, потому что требуется найти площадь круга, а радиус известен.

2. Подставляем R = 4 см: S = π · 4². Вычисляем квадрат радиуса: 4² = 16, значит, S = 16π см².

3. Если нужен приближённый результат, используем π ≈ 3,14: 16 · 3,14 = 50,24. Площадь выражается в квадратных сантиметрах.

Ответ: 16π см², или приблизительно 50,24 см².

Задача 3. Длина окружности равна 18π см. Найти радиус и площадь круга. Сначала из формулы длины выразим R, поскольку площадь тоже удобно находить через радиус. Затем найденное значение подставим в формулу площади.

1. Записываем C = 2πR и выражаем радиус: R = C ÷ (2π). Подставляем C = 18π см: R = 18π ÷ 2π = 9 см.

2. Проверяем, что π сократилось, а единица длины осталась сантиметром. Теперь известен радиус, значит, для площади используем S = πR².

3. Подставляем R = 9 см: S = π · 9² = 81π см². Приближённо это 81 · 3,14 = 254,34 см².

Ответ: R = 9 см; S = 81π см², или приблизительно 254,34 см².

Типичные ошибки

Подставляют диаметр вместо радиуса в формулу S = πR². Так бывает, когда обозначения R и d путают или не проверяют условие. Перед вычислением подпиши, что именно известно; если дан диаметр, сначала найди радиус: R = d ÷ 2. Проверка: в формуле площади должно стоять расстояние от центра до края, а не весь отрезок через центр.

Записывают площадь как πR вместо πR². Часто забывают возвести радиус в квадрат, хотя в формуле нужно умножить его на самого себя. Проверь запись до вычислений: показатель ² должен относиться к R. Ещё одна проверка — площадь при увеличении радиуса вдвое должна стать в четыре раза больше, а не в два.

Считают π точным числом 3,14. Это число — лишь приближение, поэтому такая замена может сделать точный ответ менее точным. Если в условии не требуют десятичное значение, оставляй выражение с π, например 10π. Если используешь 3,14, обозначай результат знаком ≈, а не знаком равенства.

Путают формулы длины и площади. Это происходит, если выбирать формулу только по наличию окружности в условии, не замечая, что именно требуется найти. Перед решением подчеркни искомую величину: длина обозначается C и находится по C = πd или C = 2πR, а площадь обозначается S и находится по S = πR². Проверь и единицы ответа: для длины они обычные, для площади — квадратные.

Связь с другими темами

Для работы с формулами нужно знать, что такое окружность, круг, радиус и диаметр, а также помнить связь d = 2R. Если дана одна из этих величин, равенство помогает найти другую и выбрать подходящую формулу. Эти вычисления пригодятся при измерении круглых фигур и предметов. Позже они помогут решать задачи о площадях и объёмах тел с круглыми элементами.

Что запомнить

• Отношение длины окружности к её диаметру постоянно и равно π.
• π ≈ 3,14.
• Длина окружности: C = πd = 2πR.
• Площадь круга: S = πR².
• Диаметр вдвое больше радиуса: d = 2R.
• При увеличении радиуса в k раз длина окружности увеличивается в k раз, а площадь круга — в k² раз.