10.3. Площади в теоремах и задачах

Определения и обозначения

Площадь фигуры — величина, показывающая, какую часть плоскости занимает фигура. Её обозначают буквой S и выражают в квадратных единицах, например в квадратных сантиметрах. Если две фигуры равны, их можно совместить без изменения формы и размера, поэтому площади у них тоже равны. Площадь позволяет сравнивать, сколько места занимают фигуры.

Равновеликие фигуры — это фигуры с одинаковыми площадями. При этом они могут иметь разную форму и стороны разной длины: совпадать должны не сами фигуры, а занимаемая ими площадь. Например, вытянутый прямоугольник и квадрат могут быть равновеликими. Это понятие удобно, когда нужно сравнить фигуры, которые нельзя совместить.

Площадь треугольника равна половине произведения его основания на проведённую к нему высоту: S = ½ah. Здесь a — длина основания, а h — длина высоты, соответствующей этому основанию. Если выбрать другую сторону за основание, нужно взять и высоту к ней. Формула помогает вычислять площадь треугольника и сравнивать площади разных треугольников.

Основание треугольника — выбранная сторона, а высота к нему — перпендикуляр, опущенный из противоположной вершины на прямую, содержащую эту сторону. Высота образует с прямой основания прямой угол, то есть угол 90°. Она не обязательно совпадает с боковой стороной треугольника. Такое определение помогает правильно выбрать длины для формулы площади.

Как это устроено

Чтобы понять множитель ½ в формуле, возьмём два равных треугольника и составим из них параллелограмм. У параллелограмма основание такое же, как у треугольника, а высота равна высоте треугольника к этому основанию. Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту. Поскольку он состоит из двух равных треугольников, площадь каждого из них вдвое меньше.

Если у двух треугольников общее основание, можно сравнивать их площади по высотам к этому основанию. По формуле S = ½ah основание в обоих случаях одно и то же, поэтому меняется только множитель, связанный с высотой. Значит, во сколько раз одна высота больше другой, во столько же раз больше и соответствующая площадь. При равных высотах площади равны.

Если у треугольников общая высота, то в формуле S = ½ah одинаковы и высота, и множитель ½. Поэтому отношение площадей определяется отношением оснований: чем длиннее основание, тем больше площадь в той же пропорции. Например, при основаниях 6 см и 12 см площадь второго треугольника вдвое больше. Такое сравнение не требует отдельно вычислять обе площади.

Сложную фигуру можно разбить на простые части, площади которых умеем находить. Площадь целой фигуры равна сумме площадей частей, потому что части заполняют её без наложений и промежутков. Для сравнения фигуры иногда удобно также вычесть площадь известной части из площади целой. Этот приём работает и в задачах, где части имеют форму треугольников.

Площади помогают доказывать геометрические утверждения, потому что одну и ту же фигуру можно выразить разными способами. Например, если общая фигура разбита на треугольники, их площади можно записать через основания и высоты. Равенство или соотношение полученных выражений приводит к нужному выводу о длинах или других величинах. Так вычисление становится частью доказательства, а не только способом получить число.

При выборе основания важно помнить, что высота опускается на прямую, содержащую основание, а не обязательно на сам отрезок. В остроугольном треугольнике высоты лежат внутри него, а в тупоугольном некоторые высоты проходят за его пределами. Это не мешает пользоваться формулой: нужный перпендикуляр всё равно можно провести. Проверяйте, что выбранная высота относится именно к выбранному основанию.

Площади и способы их сравнения

Сначала определите, что общего у фигур: основание, высота или только отдельные части. Затем выберите строку таблицы, которая подходит к условию, и проверьте, что сравниваются соответствующие величины. Для сложной фигуры сначала составьте план разбиения, а после сложите площади частей.

Разбор задач

Медиана делит треугольник на равновеликие части

Условие. В треугольнике ABC проведена медиана AM. Докажите, что треугольники ABM и ACM имеют равные площади. Медиана делит противоположную сторону пополам, поэтому BM = MC. Нужно связать это равенство с площадями получившихся треугольников.

1. Так как AM — медиана, точка M является серединой BC. Следовательно, основания BM и MC равны.
2. Треугольники ABM и ACM имеют основания на одной прямой BC. Высоты, опущенные из A на прямую BC, у них общие.
3. Площади треугольников с общей высотой относятся как основания. Основания равны, значит, равны и площади.

Ответ. S(ABM) = S(ACM). Равенство следует из равных оснований BM и MC и общей высоты.

Вычисление площади треугольника

Условие. Основание треугольника равно 12 см, а высота к нему — 5 см. Найдите площадь. Даны именно соответствующие друг другу основание и высота, поэтому их можно сразу подставить в формулу. В ответе нужно указать квадратные единицы.

1. Записываем формулу площади: S = ½ah.
2. Подставляем значения: S = ½ · 12 · 5 = 30.
3. Проверяем единицы: сантиметры умножаются на сантиметры, поэтому получаем квадратные сантиметры.

Ответ. 30 см².

Площади треугольников, образованных диагональю

Условие. Диагональ параллелограмма делит его на два треугольника. Докажите, что их площади равны, и объясните, как это помогает находить площади частей параллелограмма. Диагональ служит общим основанием для этих треугольников. Их вершины находятся на противоположных параллельных сторонах.

1. Выбираем диагональ общим основанием двух треугольников. Их высоты к этому основанию — расстояния от двух противоположных вершин до прямой диагонали.
2. Эти вершины лежат на параллельных прямых, поэтому расстояния между прямыми, измеренные перпендикулярно, равны. Значит, высоты треугольников равны.
3. Треугольники имеют общее основание и равные высоты, следовательно, их площади равны. Если площадь параллелограмма известна, площадь каждого треугольника составляет половину этой площади.

Ответ. Площади треугольников равны. Диагональ делит площадь параллелограмма на две равные части.

Типичные ошибки

Подставляют в формулу высоту, проведённую к другой стороне. Тогда основание и высота не образуют нужную пару, хотя каждое число само по себе может быть верным. Ошибку допускают, когда не отмечают, к какой стороне проведена высота. Перед вычислением проверьте: от какой вершины опущен перпендикуляр и к какой прямой он перпендикулярен.

Считают высотой наклонную сторону треугольника. Но высотой может быть только перпендикуляр к прямой основания, а наклонная сторона обычно образует с ним не прямой угол. Путают эти отрезки, потому что оба соединяют вершины треугольника. Проверьте наличие угла 90° у основания высоты.

Забывают разделить произведение основания на высоту пополам. Так получают площадь параллелограмма, построенного на тех же основании и высоте, а не площадь одного треугольника. Причина — механическое применение похожих формул. Для самопроверки спросите себя, соответствует ли фигуре формула S = ½ah.

Делают вывод о равенстве площадей только из равенства оснований. Одинаковые основания не гарантируют одинаковую площадь: при разных высотах треугольники могут занимать разную часть плоскости. Такое предположение возникает, когда учитывают только один множитель формулы. Для сравнения проверьте высоты или найдите другое обоснование равенства площадей.

Связь с другими темами

Для работы с площадями нужно знать, что такое перпендикуляр, высота треугольника и медиана, а также помнить свойство параллельных прямых: расстояние между ними постоянно. Эти понятия помогают находить общие основания и равные высоты. Приёмы сравнения площадей пригодятся в доказательствах теорем и задачах о треугольниках и четырёхугольниках. Позже они помогут изучать формулы площадей многоугольников и применять площади в геометрических рассуждениях.

Что запомнить

• Площадь треугольника равна половине произведения основания на соответствующую высоту.
• Высота перпендикулярна прямой, содержащей основание.
• Треугольники с равными основаниями и общей высотой имеют равные площади.
• При общей высоте площади треугольников относятся как их основания.
• Площадь фигуры, разбитой на части, равна сумме площадей этих частей.
• Равенство площадей можно использовать для доказательства геометрических утверждений.