"Геометрия", Шарыгин И.Ф.
Площадь показывает, сколько места занимает фигура, и помогает сравнивать фигуры, даже если их границы устроены по-разному. Для треугольника, параллелограмма и трапеции площадь можно найти по основанию и высоте, но формулы отличаются. Главное — правильно сопоставить основание с перпендикулярной ему высотой и не забыть, в каких единицах записывается ответ. Эти правила пригодятся и для вычисления неизвестных размеров фигур.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Площадь треугольника — величина, выражающая, сколько единичных квадратов занимает треугольник; её обозначают буквой S. Единичный квадрат имеет стороны длиной в одну выбранную единицу, например сантиметр. Площадь помогает сравнивать фигуры по размеру занимаемой ими поверхности. Для ответа нужно не только вычислить число, но и указать квадратные единицы.
Высота треугольника — перпендикуляр, опущенный из вершины на прямую, содержащую противоположную сторону. Перпендикуляр — отрезок, который образует с этой прямой угол 90°, а противоположная сторона служит основанием. К любой стороне можно провести свою высоту, поэтому основание и высоту всегда рассматривают вместе. Это нужно, чтобы подставить в формулу именно подходящие друг к другу длины.
Площадь параллелограмма вычисляют как произведение основания на проведённую к нему высоту. Параллелограмм — четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Его наклонная боковая сторона обычно не равна высоте: высота измеряет расстояние между параллельными прямыми и перпендикулярна основанию. Такое различие важно, чтобы не подменить нужную длину другой.
Площадь трапеции связана с длинами её оснований и высотой. Основания трапеции — две параллельные стороны, а высота — расстояние между прямыми, на которых они лежат. Чем больше основания или высота, тем больше площадь при неизменности остальных размеров. Эти три величины позволяют найти площадь, даже если трапеция наклонена.
Площади можно сравнивать не только подсчётом клеток: фигуру можно разрезать на части и переставить их. Если части не накладываются друг на друга и не теряются, их общая площадь не меняется, ведь набор единичных квадратов остаётся прежним. Так из сложной фигуры иногда получают более простую, площадь которой легко вычислить. Этот способ помогает понять, откуда берутся формулы, а не просто запомнить их.
Представим два равных треугольника с основанием a и высотой h. Если приложить их друг к другу подходящими сторонами, получится параллелограмм с теми же основанием и высотой; его площадь равна ah. Параллелограмм составлен из двух одинаковых частей, значит, на один треугольник приходится половина его площади. Поэтому площадь треугольника равна S = ah / 2, а не ah.
Параллелограмм можно превратить в прямоугольник: отрезать треугольную часть у одного края и перенести её к другому. Основание и расстояние между параллельными сторонами при этом сохраняются, а площадь прямоугольника равна произведению его сторон. Поэтому для параллелограмма S = ah. Здесь h — именно перпендикулярное расстояние к выбранному основанию a; при выборе другого основания нужно взять высоту к нему.
Для трапеции с основаниями a и b и высотой h можно взять такую же трапецию, перевернуть её и сложить с первой. Получится параллелограмм с основанием a + b и высотой h, а значит, его площадь равна (a + b)h. Одна трапеция занимает половину этой площади, поэтому S = (a + b)h / 2. Полусумма оснований называется средней линией трапеции, так что формулу можно записать и как произведение средней линии на высоту.
На чертеже сначала выбери сторону, к которой удобно найти высоту, затем проведи из противоположной вершины или стороны перпендикуляр. У треугольника высота может попасть на продолжение основания: у тупоугольной фигуры отрезок не всегда лежит внутри. Для параллелограмма и трапеции высотой служит перпендикулярное расстояние между параллельными прямыми. Проверь прямой угол и соответствие высоты выбранному основанию до подстановки чисел.
| Фигура | Формула площади | Какие данные нужны |
|---|---|---|
| Треугольник | S = ah / 2 | Основание a и высота h к нему |
| Параллелограмм | S = ah | Основание a и высота h к нему |
| Трапеция | S = (a + b)h / 2 | Оба основания a и b, высота h |
Сначала определи фигуру и найди все данные, которые указаны в соответствующей строке. Буква h всегда обозначает высоту, перпендикулярную основанию или основаниям. Если известна не высота, а наклонная сторона, её нельзя без проверки подставлять вместо h.
Задача 1. Основание треугольника равно 8 см, высота к нему — 5 см. Найдите площадь. В условии уже дана высота именно к выбранному основанию, значит, можно сразу применить формулу треугольника. Перед вычислением проверим, что длины выражены в одинаковых единицах.
Ответ: 20 см². Деление на 2 необходимо, потому что треугольник занимает половину параллелограмма с таким же основанием и высотой.
Задача 2. Сторона параллелограмма равна 7 см, высота, проведённая к этой стороне, — 4 см. Найдите площадь. Здесь прямо указано, к какой стороне относится высота, поэтому обе длины образуют нужную пару. Наклонную боковую сторону в вычислении не используем.
Ответ: 28 см². Если бы вместо высоты было дано значение наклонной стороны, одного этого числа для применения формулы было бы недостаточно.
Задача 3. Основания трапеции равны 6 см и 10 см, высота — 4 см. Найдите площадь и объясните вычисление. Сначала найдём среднее значение двух оснований, то есть их полусумму. Затем умножим его на высоту, как требует формула трапеции.
Ответ: 32 см². Такое вычисление равносильно тому, чтобы сложить основания, умножить сумму на высоту и разделить результат на 2.
Иногда для треугольника записывают S = ah и забывают деление на 2. Так происходит, когда формулу параллелограмма переносят на другую фигуру, не учитывая, что треугольник составляет лишь половину такого параллелограмма. Проверь себя: два одинаковых треугольника должны дать площадь ah, а площадь одного — ah / 2. Если деления на 2 нет, ответ получится вдвое больше нужного.
При вычислении площади параллелограмма за высоту могут принять наклонную боковую сторону. Эти отрезки путают, потому что оба соединяют вершины фигуры, но только высота образует с основанием прямой угол. На чертеже отметь угол 90° или проверь его по условию. Если такого перпендикуляра нет, длина стороны сама по себе не подтверждает, что это высота.
Бывает, что для треугольника берут высоту, проведённую к другой стороне, не той, которую подставляют как основание. Ошибка появляется, когда обозначения a и h записывают отдельно и теряют связь между ними. Чтобы проверить выбор, проследи, от какой вершины опущена высота и на какую сторону или её продолжение она падает. Основание в формуле должно быть именно этой стороной.
Площадь иногда записывают в сантиметрах или метрах, как длину. Причина в том, что исходные данные даны в обычных единицах длины, хотя при умножении длины на длину получается квадратная единица. Проверь размерность вычисления: см · см = см². В ответе пиши квадратные единицы, например см², а не просто см.
Для работы с площадями нужно знать, что такое перпендикуляр и высота треугольника, а также уметь распознавать параллельные прямые. Понятие оснований трапеции помогает выбрать стороны, участвующие в её формуле. Если эти термины знакомы, по чертежу проще найти нужные длины и понять, какая высота относится к основанию.
Площадь понимают как число единичных квадратов, поэтому новые формулы продолжают изучение свойств площади и геометрических фигур. Разрезание и перестановка частей показывают, почему изменение формы без потери частей не меняет площадь. Те же идеи помогают разбивать сложную фигуру на простые части и складывать или вычитать их площади.
Формулы пригодятся, когда требуется найти неизвестную сторону или высоту: достаточно подставить известные данные и решить полученное равенство. Они также используются в задачах на разбиение фигур, где площадь целого находят по частям. Перед вычислением важно правильно установить, какие отрезки являются основаниями и соответствующими высотами.
Почему в формуле площади треугольника появляется деление на 2?
Два одинаковых треугольника можно сложить в параллелограмм с теми же основанием и высотой. Площадь каждого треугольника составляет половину площади этого параллелограмма, поэтому произведение основания на высоту делят на 2.
Можно ли выбрать любую сторону треугольника за основание?
Да, основанием может быть любая сторона. Но тогда нужно взять высоту, проведённую именно к этой стороне или к её продолжению.
Обязательно ли высота треугольника проходит внутри него?
Нет. У тупоугольного треугольника высота, проведённая из некоторых вершин, попадает на продолжение противоположной стороны. Она всё равно считается высотой, если образует с прямой основания прямой угол.
Как отличить высоту параллелограмма от его боковой стороны?
Высота всегда перпендикулярна выбранному основанию, а боковая сторона может быть наклонной. Высота — это кратчайшее расстояние между прямыми, на которых лежат противоположные стороны.
Почему в формуле площади трапеции складывают основания?
При соединении двух равных трапеций получается параллелограмм, у которого основание равно сумме оснований трапеции. Площадь одной трапеции составляет половину площади этого параллелограмма, поэтому сумма оснований делится на 2.
10.2. Площади треугольника и четырёхугольника
