"Геометрия", Шарыгин И.Ф.
Площадь показывает, сколько места фигура занимает на плоскости, и помогает сравнивать фигуры и решать задачи на измерения. Для её вычисления выбирают квадратную единицу, например квадратный сантиметр. Если фигура состоит из неперекрывающихся частей, площади частей складывают. Главное правило этого параграфа: площадь прямоугольника со сторонами a и b равна S = ab. Ответ записывают в квадратных единицах, а длины сторон перед вычислением приводят к одной единице.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Площадь фигуры — величина, которая показывает, сколько места фигура занимает на плоскости; её обычно обозначают буквой S. Например, по площади можно сравнить, какая из двух фигур занимает больше места. Это понятие нужно, чтобы измерять поверхности и вычислять их размеры.
Равные фигуры — фигуры, которые можно совместить наложением. Если одна фигура полностью совпала с другой, их площади равны. Это позволяет узнавать площадь фигуры, не измеряя её заново, если она равна уже известной фигуре.
Единица площади — площадь квадрата со стороной, равной единице длины. Например, квадратный сантиметр (см²) — площадь квадрата со стороной 1 см. Выбранная единица помогает выражать площадь числом и сравнивать результаты измерений.
Площадь прямоугольника — произведение длин двух его соседних сторон: S = ab. Здесь a и b — длины сторон, а S — площадь. Эта формула нужна, чтобы быстро находить площадь прямоугольника, не пересчитывая каждую маленькую часть внутри него.
Чтобы измерить площадь, выбирают квадрат единичной площади и выясняют, сколько таких квадратов помещается в фигуре. Именно квадрат удобен как мерка: его можно повторять без промежутков и наложений, покрывая плоскую область. Если за единицу взять квадрат со стороной 1 см, результат будет выражен в см². При другой выбранной единице числовое значение площади изменится, поэтому единицу всегда указывают вместе с результатом.
Равные фигуры имеют одинаковую площадь, потому что наложением их можно полностью совместить. При совмещении каждая точка одной фигуры совпадает с точкой другой, значит, никакая часть не выступает и не остаётся непокрытой. Следовательно, в обеих фигурах помещается одно и то же количество квадратных единиц. Это свойство полезно, когда сложную фигуру можно передвинуть или мысленно перестроить в более удобную.
Если фигуру разделить на неперекрывающиеся части, площадь всей фигуры равна сумме площадей частей. Причина в том, что каждая часть занимает свою область, а вместе они заполняют фигуру целиком. Ничего не пропадает и не считается дважды. Поэтому составную фигуру часто проще измерить, разбив её на прямоугольники или другие фигуры с известной площадью.
У квадрата все стороны равны, поэтому при стороне a его можно мысленно разбить на ряды единичных квадратов. Если длина стороны выражена целым числом единиц, получится a рядов, в каждом из которых по a квадратов. Всего будет a · a квадратов, то есть площадь равна a². Для дробных длин эту идею можно продолжить, разбивая единичные квадраты на более мелкие части.
Прямоугольник со сторонами a и b также можно разбить на единичные квадраты: в каждом ряду будет b квадратов, а рядов будет a. Поэтому их общее количество равно a · b, и площадь прямоугольника вычисляют по формуле S = ab. Такое рассуждение наглядно для целых длин, выраженных в выбранных единицах. Для любых положительных длин сторон формула сохраняется: при изменении единицы измерения число квадратных единиц меняется согласованно с длинами сторон.
| Что рассматриваем | Правило или формула | Уточнение |
|---|---|---|
| Равные фигуры | Площади равны | Фигуры совмещаются наложением |
| Фигура, составленная из неперекрывающихся частей | Площадь равна сумме площадей частей | Части вместе составляют всю фигуру |
| Квадрат со стороной a | S = a² | Все стороны квадрата равны |
| Прямоугольник со сторонами a и b | S = ab | Стороны должны быть в одинаковых единицах |
| Единицы площади | мм², см², дм², м² и другие квадратные единицы | Единица зависит от выбранной мерки |
Сначала определите, какая фигура дана и известны ли её стороны. Затем выберите соответствующее свойство или формулу и проверьте единицы измерения. Для составной фигуры отдельно найдите площади частей, а потом сложите их.
Задача 1. Найдите площадь прямоугольника со сторонами 6 см и 4 см. Нужно определить, какая формула подходит: известны обе соседние стороны прямоугольника. Площадь будет выражена в квадратных сантиметрах, поскольку длины даны в сантиметрах.
Ответ: 24 см². Проверить выбор формулы можно по смыслу: площадь зависит от обеих сторон, а результат измеряется квадратными, а не линейными единицами.
Задача 2. Площадь прямоугольника равна 42 см², одна сторона — 6 см. Найдите другую сторону. Обозначим неизвестную сторону буквой b и применим формулу S = ab. Чтобы найти неизвестный множитель, площадь разделим на известный множитель.
Ответ: 7 см. Проверка: 6 см · 7 см = 42 см², значит, найденная сторона подходит.
Задача 3. Фигуру составили без наложения из прямоугольников размером 5 см на 3 см и 4 см на 2 см. Найдите площадь фигуры. Сначала вычислим площадь каждого прямоугольника отдельно. Так как части не перекрываются, применим свойство сложения площадей.
Ответ: 23 см². Наложения нет, поэтому общая область не вычитается и каждая часть учитывается ровно один раз.
Иногда площадь прямоугольника записывают как 2(a + b). Это формула периметра: она складывает длины границ, а не измеряет внутреннюю область. Ошибку допускают, потому что и площадь, и периметр зависят от сторон прямоугольника. Проверь себя по единицам: выражение 2(a + b) даёт единицы длины, а для площади нужно умножать стороны и получать квадратные единицы.
Другая ошибка — указать ответ в сантиметрах, хотя вычислялась площадь. Так происходит, когда забывают, что произведение двух длин в сантиметрах даёт квадратные сантиметры. Проверь запись: если стороны измерены в сантиметрах, то их произведение записывают в см². Периметр, в отличие от площади, действительно записывают в сантиметрах.
Нельзя перемножать численные значения сторон, если они выражены в разных единицах. Например, сантиметры и метры сначала нужно привести к одной единице, иначе числа относятся к разным меркам. Такая ошибка возникает из-за того, что единицы опускают во время вычисления. Перед подстановкой проверь, совпадают ли единицы обеих сторон, и только потом умножай.
При сложении площадей частей нельзя учитывать перекрывающуюся область дважды. Свойство сложения применяется, когда части не имеют общих внутренних областей и вместе составляют фигуру. Если части наложены, сумма их площадей включает общую область повторно. Проверь, действительно ли разбиение выполнено без наложений; при наличии общей части её нужно учесть отдельно.
Для работы с площадью нужно уметь измерять отрезки, распознавать прямоугольник и находить длины его сторон. Без этого нельзя правильно выбрать числа для формулы и единицу ответа. Свойства площади помогают находить площади других многоугольников, разбивая их на прямоугольники и треугольники. Формула S = ab пригодится в задачах на измерения, перевод единиц площади и поиск неизвестной стороны прямоугольника.
Почему площадь прямоугольника находят умножением сторон?
Если разделить прямоугольник на единичные квадраты, получится несколько одинаковых рядов. Число рядов равно одной стороне, а число квадратов в каждом ряду — другой стороне. Поэтому общее число квадратов, а значит и площадь, равно произведению сторон: S = ab.
Чем площадь отличается от периметра?
Площадь показывает, сколько места фигура занимает внутри, а периметр — длину её границы. Площадь измеряют квадратными единицами, например см², а периметр — единицами длины, например см.
Почему площадь измеряют в квадратных единицах?
Единицей площади служит квадрат со стороной, равной единице длины. Например, 1 см² — площадь квадрата со стороной 1 см. Поэтому при измерении площади считают, сколько таких квадратов помещается в фигуре.
Можно ли складывать площади частей фигуры?
Да, если части не перекрываются и вместе составляют всю фигуру. Тогда площадь целой фигуры равна сумме площадей частей. Если части накладываются, общую область нельзя учитывать дважды.
Как найти неизвестную сторону прямоугольника, если известны площадь и другая сторона?
Из формулы S = ab разделите площадь на известную сторону. Например, если S = 42 см², а a = 6 см, то b = 42 : 6 = 7 см. Проверьте ответ умножением: 6 · 7 = 42.
10.1. Основные свойства площади. Площадь прямоугольника
