"Геометрия", Шарыгин И.Ф.
Площадь показывает, сколько места занимает многоугольник на плоскости, и помогает сравнивать фигуры и вычислять размеры поверхностей. Её измеряют квадратными единицами: например, квадратными сантиметрами или метрами. Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон, а для треугольника и параллелограмма нужны основание и проведённая к нему высота. Сложную фигуру можно разбить на простые и сложить их площади.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Площадь многоугольника — величина, показывающая, сколько единичных квадратов занимает фигура. Единицу площади можно представить как квадрат со стороной в одну выбранную единицу длины: например, квадратный сантиметр — это квадрат со стороной 1 см. Площадь нужна, чтобы сравнивать фигуры и измерять поверхности.
Единичный квадрат — квадрат, площадь которого принята за единицу площади. Если его сторона равна 1 см, его площадь равна 1 см²; запись «квадратный» указывает, что единица длины взята дважды. С помощью таких квадратов удобно представлять измерение площади и понимать, почему ответ записывают в квадратных единицах.
Равновеликие многоугольники — многоугольники с равными площадями, даже если они различаются формой. Один может быть вытянутым, а другой — более компактным, но занимать одинаковое количество единичных квадратов. Это понятие позволяет сравнивать фигуры по площади, не требуя, чтобы они совпадали.
Площадь прямоугольника — произведение длин двух его смежных сторон: S = ab. Здесь S обозначает площадь, а a и b — длины сторон, имеющих общую вершину; их обычно измеряют в одинаковых единицах. Формула позволяет находить площадь по двум измерениям без подсчёта клеток.
Площадь связывают с числом единичных квадратов, которыми можно покрыть фигуру без промежутков и наложений. Если граница проходит через клетки, целые клетки считают сразу, а неполные объединяют так, чтобы получить целые квадраты. Например, две половины клеток могут составить одну целую, поэтому подсчёт не зависит от того, как именно линия разрезала сетку.
У прямоугольника можно посчитать квадраты сначала вдоль одной стороны, а затем — количество рядов вдоль другой. Если в каждом ряду a квадратов и всего b рядов, повторное сложение a + a + … + a даёт произведение ab. Поэтому площадь прямоугольника равна S = ab; при этом единицы длины также перемножаются и дают квадратную единицу.
Диагональ прямоугольника соединяет противоположные вершины и делит его на два равных треугольника. Равные части имеют одинаковые площади, а вместе занимают весь прямоугольник. Если основание одного треугольника равно a, а соответствующая высота — h, площадь прямоугольника с такими размерами была бы ah, значит, площадь треугольника равна S = ah/2.
Параллелограмм можно разрезать по высоте и переставить отрезанную часть к другому краю. Получится прямоугольник с теми же основанием и высотой, поэтому его площадь не изменится при таком разрезании и перестановке. У прямоугольника площадь равна произведению сторон, откуда для параллелограмма получается S = ah, где h перпендикулярна основанию a.
Многоугольник сложной формы можно разделить на треугольники, прямоугольники или другие фигуры, площадь которых уже умеем находить. Части вместе составляют исходную фигуру и не перекрывают друг друга, поэтому площадь целого равна сумме площадей частей. Если же из большой фигуры вырезана часть, её площадь нужно вычесть из площади целой фигуры.
| Фигура | Формула площади | Что означают обозначения |
|---|---|---|
| Прямоугольник | S = ab | a и b — длины смежных сторон |
| Треугольник | S = ah/2 | a — основание, h — высота к этому основанию |
| Параллелограмм | S = ah | a — основание, h — высота к этому основанию |
| Многоугольник, разбитый на части | S = S₁ + S₂ + … | S₁, S₂ и другие — площади частей |
Сначала определите, какая фигура дана и какие её размеры известны, затем выберите подходящую строку. Для треугольника и параллелограмма проверьте, что высота относится именно к выбранному основанию. Если фигура разбита на части, найдите каждую площадь отдельно и сложите результаты.
Задача 1. Найти площадь прямоугольника со сторонами 6 см и 4 см. Обе стороны измерены в одинаковых единицах и являются смежными, значит, можно применить формулу S = ab. В результате умножения сантиметров на сантиметры получится площадь в квадратных сантиметрах.
Ответ: 24 см².
Задача 2. Найти площадь треугольника с основанием 10 см и высотой 6 см. Перед вычислением проверим, что высота проведена перпендикулярно именно к стороне длиной 10 см. Тогда данные соответствуют одной паре «основание — высота», и можно использовать формулу S = ah/2.
Ответ: 30 см².
Задача 3. Многоугольник разделён диагональю на треугольник и параллелограмм. Основание треугольника равно 8 см, его высота — 3 см; основание параллелограмма равно 5 см, а высота к нему — 4 см. Чтобы получить площадь всей фигуры, сначала найдём площади частей, используя для каждой свою формулу. Затем сложим их, потому что части составляют многоугольник целиком и не перекрываются.
Ответ: 32 см².
При вычислении площади треугольника иногда перемножают две его стороны вместо основания и высоты. Так происходит, когда любую наклонную сторону принимают за высоту, хотя высота должна быть перпендикулярна основанию. Проверьте рисунок или условие: нужный отрезок должен образовывать с основанием прямой угол и выходить из противоположной вершины.
Для параллелограмма в формулу иногда подставляют длину боковой стороны вместо высоты. Боковая сторона обычно наклонена к основанию, поэтому её длина не показывает расстояние между параллельными сторонами. Чтобы проверить выбор, убедитесь, что отрезок высоты перпендикулярен основанию; при необходимости он может проходить вне параллелограмма.
В формуле площади треугольника могут забыть множитель 1/2 и получить ah вместо ah/2. Ошибка возникает из-за сходства формул треугольника и параллелограмма, но первый занимает только половину параллелограмма с теми же основанием и высотой. Проверьте результат: площадь такого треугольника должна быть вдвое меньше площади соответствующего параллелограмма.
Некоторые записывают площадь в сантиметрах или складывают длины сторон, хотя требуется измерить поверхность. Это смешивает длину и площадь: сантиметры описывают отрезки, а площадь выражают в квадратных сантиметрах. Проверьте и вычисление, и единицы ответа: нужно применять формулу площади, а не периметра, и писать см², м² и другие квадратные единицы.
Для вычисления площади полезно уметь измерять длины и различать основание и высоту. Нужно также узнавать перпендикулярные отрезки: без этого легко подставить в формулу неподходящую сторону. Эти навыки связаны с изучением углов и построением геометрических фигур.
Площади помогают решать задачи, в которых фигуру делят на части или составляют из простых фигур. Тот же приём пригодится дальше при изучении геометрических измерений и сравнении поверхностей. Умение выбрать разбиение и проверить единицы измерения делает решение сложной задачи понятнее.
Почему площадь прямоугольника находят умножением длины на ширину?
Если покрыть прямоугольник одинаковыми квадратами, вдоль одной стороны поместится a квадратов, а вдоль другой — b рядов. Всего будет a · b квадратов, поэтому S = ab.
Можно ли найти площадь параллелограмма, зная только длины его сторон?
Обычно нет: площадь зависит не только от длин сторон, но и от угла между ними. Нужны основание и высота к нему либо другие данные, позволяющие найти высоту.
Как выбрать основание и высоту треугольника для вычисления площади?
Основанием можно выбрать любую сторону треугольника. Высота — это отрезок, перпендикулярный выбранному основанию и проведённый из противоположной вершины.
Почему в формуле площади треугольника есть деление на два?
Диагональ прямоугольника делит его на два равных треугольника. Поэтому треугольник с теми же основанием и высотой занимает половину площади соответствующего прямоугольника.
Как найти площадь многоугольника сложной формы?
Разбейте фигуру на части, площади которых можно найти по известным формулам. Вычислите площадь каждой части и сложите результаты.
10. Площади многоугольников
