"Геометрия", Шарыгин И.Ф.
Окружность — замкнутая линия, а её длина показывает, сколько нужно пройти вдоль этой линии. Чтобы найти длину, измеряют диаметр или радиус и используют постоянное число π, примерно равное 3,14. Поэтому длину окружности можно вычислить по формулам C = πd или C = 2πR. Эти формулы помогают решать задачи о круглых предметах и находить путь, который проезжает колесо за несколько оборотов.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Окружность — линия, все точки которой находятся на одинаковом расстоянии от центра. Отрезок от центра до любой точки окружности называют радиусом и обозначают R. Радиус помогает описывать размер окружности и используется в формуле её длины.
Длина окружности — длина самой линии окружности. Её можно оценить, обернув вокруг круглого предмета нитью или гибкой лентой, а затем измерив полученный отрезок. Обозначим длину буквой C: это позволяет записывать вычисления коротко и понятно.
Число π — постоянное отношение длины любой окружности к её диаметру. Его приближённое значение равно 3,14. Это число связывает размер окружности с её длиной и позволяет находить длину вычислением, а не измерением нитью.
Диаметр — хорда, которая проходит через центр окружности. Диаметр обозначают d; он состоит из двух радиусов, поэтому d = 2R. Зная диаметр или радиус, можно определить длину всей окружности.
Возьмём несколько круглых предметов разных размеров и измерим нитью длину каждой окружности, а затем — диаметр. Например, у одной окружности измерения могут дать около 31,4 см и 10 см, а у другой — около 62,8 см и 20 см. В обоих случаях длину делим на диаметр и получаем примерно 3,14. Измерения могут быть не совсем точными, но увеличение окружности приводит к такому же увеличению диаметра, поэтому их отношение остаётся общим.
Это постоянное отношение принято обозначать греческой буквой π. По смыслу определения π = C / d: длину окружности делят на диаметр. Чтобы найти саму длину, обе части равенства можно умножить на d, и получится C = πd. Например, при диаметре 10 см длина равна примерно 3,14 · 10 = 31,4 см.
Иногда в задаче дан не диаметр, а радиус. Поскольку диаметр состоит из двух радиусов, подставим d = 2R в формулу C = πd: получим C = π · 2R, то есть C = 2πR. Эти записи не задают разные правила, а лишь позволяют подставить ту величину, которая известна. Если радиус равен 5 см, удобнее сразу считать 2π · 5.
Формулу выбирают по данным задачи: если известен диаметр, используют C = πd, а если радиус — C = 2πR. Когда нужно найти диаметр по длине, из C = πd получают d = C / π; радиус находят как половину диаметра или по формуле R = C / (2π). Перед подстановкой полезно выписать, что известно и что требуется найти. Так легче не перепутать радиус и диаметр и не применить формулу не к той величине.
Число π имеет бесконечную десятичную запись, поэтому число 3,14 — только приближение. Если использовать его при вычислении длины, десятичный результат тоже будет приближённым. Например, при диаметре 1 см точная запись длины — π см, а приближённая — 3,14 см. Если задача просит точный ответ, оставляют выражение с π; если просят вычислить значение, указывают десятичный результат и при необходимости округляют его.
| Величина | Обозначение | Связь с радиусом | Связь с длиной окружности |
|---|---|---|---|
| Радиус | R | R | R = C / (2π) |
| Диаметр | d | d = 2R | d = C / π |
| Длина окружности | C | C = 2πR | C |
| Приближённое значение числа π | π | π ≈ 3,14 | C ≈ 3,14d или C ≈ 6,28R |
Сначала найдите в таблице известную величину, а затем выберите запись, где она используется. Если известны радиус или диаметр, строка длины окружности подскажет формулу для вычисления C. Если длина уже дана, нужные формулы в последнем столбце помогают найти радиус или диаметр.
Задача 1. Радиус окружности равен 5 см. Найдите её длину, оставив ответ с π и затем вычислив приближённое значение. Так как дан радиус, выбираем формулу C = 2πR. Сначала запишем точный ответ, а затем подставим приближение π ≈ 3,14.
Ответ: 10π см, или примерно 31,4 см. Единица длины в обоих случаях — сантиметр. Слово «примерно» нужно потому, что в десятичном вычислении вместо π использовано приближение.
Задача 2. Длина окружности равна 31,4 см. Найдите её диаметр и радиус, приняв π ≈ 3,14. В формуле C = πd известны длина и значение π, поэтому сначала найдём диаметр. Затем используем связь диаметра с радиусом: диаметр вдвое больше радиуса.
Ответ: диаметр примерно равен 10 см, радиус — 5 см. Проверка: 2 · 5 = 10 см, значит, связь между найденными величинами соблюдена. Значения получены с использованием приближённого π.
Задача 3. Диаметры двух круглых колёс равны 40 см и 60 см. Какое расстояние каждое проедет за 100 полных оборотов и на сколько эти расстояния различаются? За один полный оборот колесо проходит расстояние, равное длине его окружности. Поэтому сначала найдём обе длины, а затем умножим каждую на 100.
Ответ: первое колесо проедет примерно 125,6 м, второе — 188,4 м. Их пути различаются примерно на 62,8 м. Перевод сантиметров в метры нужен, чтобы удобнее выразить расстояние поездки.
Подстановка радиуса в формулу C = πd. В этой формуле нужен диаметр, но радиус иногда подставляют вместо него, потому что оба измеряют размер окружности. Перед вычислением подпишите, что означает каждая буква; если дан радиус, используйте C = 2πR либо сначала найдите d = 2R.
Путаница между радиусом и диаметром. Ошибка d = R возникает, если забыть, что диаметр проходит через центр от одного края окружности до другого. Он состоит из двух радиусов, поэтому d = 2R. Проверьте найденные значения: диаметр должен быть вдвое больше радиуса.
Число 3,14 считают точным значением π. Его часто запоминают как готовое число и не замечают, что это лишь приближение. Поэтому результат вычисления с 3,14 тоже обычно приближённый. Для проверки посмотрите, требуется ли точный ответ с π или десятичное значение.
Забывают единицы или смешивают их. Это случается, когда в условии длина дана, например, в сантиметрах, а ответ записывают без обозначения единицы. Перед вычислением приведите все длины к одним единицам и сохраните их в ответе. Проверка проста: длина окружности и её радиус или диаметр должны быть выражены в одинаковых единицах.
Для работы с длиной окружности нужны понятия окружности, радиуса и диаметра, а также равенство d = 2R. Чтобы вычислять длину по формуле и читать результаты измерений, пригодятся навыки работы с единицами длины и округлением приближённых чисел. Формула также помогает находить путь, который проходит колесо за заданное число оборотов. Позже эта связь между окружностью и кругом будет полезна при изучении площади круга.
Почему отношение длины окружности к диаметру одинаково для разных окружностей?
Если увеличить окружность в несколько раз, её диаметр увеличится во столько же раз. Поэтому отношение длины к диаметру не меняется и для любой окружности равно одному и тому же числу π.
Чем отличаются формулы C = πd и C = 2πR?
Это две записи одной формулы. В первой используют диаметр d, а во второй — радиус R; поскольку d = 2R, значения длины окружности получаются одинаковыми.
Можно ли всегда считать π равным 3,14?
Число π не равно точно 3,14: это бесконечная десятичная дробь, а 3,14 — её приближение. Для обычных вычислений часто достаточно взять 3,14, но в ответе с точным значением оставляют π.
Как найти радиус, если известна длина окружности?
Можно воспользоваться формулой C = 2πR и выразить радиус: R = C / (2π). Если сначала найти диаметр по формуле d = C / π, то радиус будет равен половине диаметра.
Почему длина окружности получается приближённой?
При вычислениях обычно заменяют π приближённым числом 3,14. Поэтому десятичный результат тоже является приближённым, а не точным; для точной записи можно оставить π в ответе.
11.2. Длина окружности
