"Геометрия", Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. / Под ред. Садовничего В.А.
Длина окружности — это длина замкнутой линии, которая ограничивает круг. Она нужна, чтобы измерять путь по кругу, например длину обода колеса или дуги. Для любой окружности отношение её длины к диаметру одинаково и равно числу π. Поэтому достаточно знать радиус или диаметр, чтобы найти длину всей окружности, а для части окружности — ещё и центральный угол.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Длина окружности — длина замкнутой кривой, ограничивающей круг; её обычно обозначают C или l. Иными словами, это расстояние вдоль линии окружности, а не через круг. Зная длину окружности, можно измерить путь по круглому ободу или обойти круглую площадку по краю. Для её вычисления используют радиус либо диаметр.
Число π — постоянное отношение длины любой окружности к её диаметру. Его приближённое значение равно 3,14, но точно записать его конечной десятичной дробью нельзя. Число π связывает размеры окружности с её длиной независимо от того, большая она или маленькая. Благодаря этому одной формулой можно пользоваться для всех окружностей.
Длина дуги — длина части окружности, соответствующей центральному углу. Дуга соединяет две точки окружности, а её величина зависит и от размера окружности, и от угла. Это понятие нужно, когда требуется измерить не весь круговой путь, а только его участок. Например, дугой является часть обода между двумя выбранными точками.
Центральный угол — угол с вершиной в центре окружности, который опирается на соответствующую дугу. Его стороны проходят через концы дуги, а величина показывает, какую часть полного оборота она занимает. Полный оборот равен 360°, поэтому центральный угол позволяет сравнить длину дуги со всей окружностью. Это сравнение лежит в основе формулы длины дуги.
Представь две окружности разных размеров. Их можно совместить увеличением или уменьшением: при таком преобразовании окружности подобны, то есть все линейные размеры изменяются в одинаковое число раз. Если диаметр увеличить, например, в три раза, то и длина окружности увеличится в три раза. Поэтому отношение длины окружности к диаметру остаётся постоянным для любого размера и обозначается числом π: C/d = π.
Из равенства C/d = π получаем C = πd: достаточно умножить диаметр на постоянное отношение. Иногда известен не диаметр, а радиус R. Диаметр состоит из двух радиусов, поэтому d = 2R; подстановка этого равенства даёт C = π·2R = 2πR. Выбирай ту запись, в которой дана нужная величина: они описывают одну и ту же зависимость.
Чтобы понять формулу дуги, сравни угол α с полным углом 360°. Центральный угол задаёт поворот от одного радиуса к другому, а полный оборот проходит всю окружность. Поэтому отношение α/360° показывает долю полного оборота. Точки, соответствующие этому повороту, выделяют такую же долю окружности: при повороте вдвое меньшем дуга тоже будет вдвое короче всей окружности.
Длина всей окружности равна 2πR, а нужная дуга занимает долю α/360° от неё. Умножив эти величины, получаем l = (α/360°)·2πR. Множитель α/360° отвечает за размер выбранной части, а 2πR — за длину полного кругового пути. Например, при α = 90° доля равна четверти, значит, дуга составляет четверть окружности. Ответ часто удобно сначала записать точно с π, а затем, если требуется число, заменить π приближением и округлить результат в конце.
| Что найти | Данные | Формула | Единицы измерения |
|---|---|---|---|
| Длина окружности | Радиус R | C = 2πR | Единицы длины |
| Длина окружности | Диаметр d | C = πd | Единицы длины |
| Длина дуги | Радиус R и центральный угол α в градусах | l = (α/360°)·2πR | Единицы длины |
Сначала проверь, какие величины даны: радиус, диаметр или радиус вместе с углом. Затем выбери подходящую строку и подставь значения в одинаковых единицах длины. Если результат требуется приближённо, используй π ≈ 3,14 и округляй после вычислений.
Известен радиус, поэтому удобнее применить формулу C = 2πR. Сначала найдём точную длину, оставив π в ответе: такой вид не содержит погрешности округления. Если нужно получить десятичное значение, заменим π числом 3,14.
Ответ: 10π см, или приблизительно 31,4 см.
Дуга занимает часть окружности, поэтому сначала определим, какую долю полного оборота составляет угол. Затем умножим эту долю на длину окружности радиуса 12 см. Так мы учитываем и размер окружности, и то, какая часть её линии нужна.
Ответ: 4π см, или приблизительно 12,56 см.
Здесь неизвестен радиус, но известны длина дуги и центральный угол. Подставим данные в формулу дуги, а затем преобразуем равенство, чтобы оставить R отдельно. Угол 90° составляет четверть полного оборота, поэтому заданная дуга должна быть четвертью окружности.
Ответ: 16 см. Проверка: четверть окружности радиуса 16 см равна ¼·32π = 8π см.
В формулу C = 2πR иногда подставляют диаметр вместо радиуса. Тогда число, которое должно быть R, оказывается вдвое больше нужного, и ответ тоже увеличивается вдвое. Перед вычислением подпиши данную величину и проверь: если дан диаметр, используй C = πd или сначала раздели его на два.
В формуле дуги могут ошибочно делить α на 180°. Долю дуги сравнивают с целой окружностью, а полный центральный угол — 360°, поэтому знаменатель именно такой. Проверь крайний случай: при α = 360° формула должна дать длину всей окружности, а не удвоенную величину.
Иногда α/360° принимают за длину дуги. Это только доля окружности, а не расстояние, поэтому её необходимо умножить на C = 2πR. Проверка проста: доля без единиц измерения, а длина дуги должна быть выражена, например, в сантиметрах.
Ещё одна ошибка — слишком рано заменять π числом 3,14 или округлять промежуточные значения. Так может появиться лишняя погрешность, особенно если дальше предстоят вычисления. Сначала сохраняй точное выражение с π, а приближённое значение находи в конце; не смешивай точный и округлённый ответы.
Для вычислений с окружностью нужно уверенно находить радиус и диаметр по известным данным. Помни, что диаметр вдвое больше радиуса: d = 2R, а радиус вдвое меньше диаметра. Это помогает выбрать подходящую формулу и не перепутать величины при подстановке.
Длина окружности и дуги пригодится при изучении площади круга: там также используются радиус и число π, но измеряется уже не линия, а часть плоскости. Эти формулы применяют и в задачах о движении по круговой траектории или вращении. Например, длина окружности помогает определить путь за полный оборот, а длина дуги — за часть оборота.
Почему отношение длины окружности к диаметру одинаково для всех окружностей?
Любые две окружности подобны: одна получается из другой увеличением или уменьшением в одинаковое число раз. При таком изменении и длина окружности, и диаметр умножаются на один коэффициент. Поэтому их отношение не меняется и равно π.
Когда удобнее пользоваться формулой C = πd, а когда C = 2πR?
Выбирай формулу, в которой сразу можно подставить известную величину. Если дан диаметр, удобнее использовать C = πd; если дан радиус — C = 2πR. Обе формулы дают один результат, потому что d = 2R.
Почему в формуле длины дуги угол делят на 360°?
Полная окружность соответствует полному центральному углу 360°. Доля α/360° показывает, какую часть полного оборота составляет угол α, а значит, такую же часть всей окружности составляет дуга.
Как найти длину дуги, если известны её центральный угол и радиус?
Сначала раздели угол α на 360°, чтобы получить долю окружности. Затем умножь эту долю на длину всей окружности 2πR. Получится формула l = (α/360°)·2πR.
Когда ответ нужно оставлять с π, а когда округлять?
Точное значение с π лучше оставлять, если требуется точный ответ или дальнейшие вычисления. Приближённое значение находят, заменяя π числом 3,14 или более точным приближением. Округляй только в конце и до указанного в задаче разряда.
110. Длина окружности
