"Геометрия", Смирнова И.М., Смирнов В.А.
Окружность — замкнутая линия, а её длина показывает, сколько нужно пройти вдоль этой линии, чтобы обойти её целиком. Это понятие помогает рассчитывать размеры колёс, круговых дорожек и других круглых предметов. Длина любой окружности связана с её диаметром одним и тем же числом π, приблизительно равным 3,14. Поэтому длину можно найти по диаметру или радиусу, а при изменении радиуса предсказать, как изменится длина.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Окружность — замкнутая линия, все точки которой находятся на одинаковом расстоянии от центра. Иначе говоря, если взять любую точку этой линии и измерить расстояние до центра, оно будет таким же, как для любой другой точки. Окружность не включает внутреннюю часть круга. Она нужна, чтобы описывать круглые границы и находить их длину.
Длина окружности — длина линии окружности, измеряемая в единицах длины. Её обычно обозначают буквой C, чтобы отличать от длины отрезка или площади круга. Представь, что окружность разрезали в одной точке и распрямили: длина получившегося отрезка и есть длина окружности. Эта величина помогает, например, узнать, сколько материала нужно для круглого обода.
Радиус окружности — отрезок, соединяющий центр окружности с любой её точкой; обозначается r. Все радиусы одной окружности равны, поэтому достаточно измерить один из них, чтобы задать её размер. Радиус используют в формулах для вычисления длины окружности и площади круга. Не путай отрезок-радиус с его числовой длиной: в вычислениях под r обычно понимают именно длину.
Диаметр окружности — хорда, проходящая через центр; обозначается d, причём d = 2r. Хорда — это отрезок, соединяющий две точки окружности, а диаметр является самой длинной хордой. Он состоит из двух радиусов, поэтому вдвое длиннее радиуса. Диаметр удобен для измерения круглых предметов и напрямую используется в формуле длины окружности.
У окружностей разного размера длины и диаметры различаются, но их отношение остаётся одним и тем же. Если увеличить окружность, её длина вырастет пропорционально диаметру: форма линии при этом не меняется. Поэтому деление длины окружности на диаметр всегда даёт постоянное число. Это число обозначают греческой буквой π и называют числом пи: C ÷ d = π.
Проверить связь можно измерениями. Оберни нитку вокруг круглого предмета, отметь длину витка и измерь её линейкой — так получится приближённая длина окружности. Затем измерь диаметр предмета и раздели первое измерение на второе. Результат будет близок к 3,14, но не обязательно совпадёт точно: мешают погрешности линейки, неровность предмета и неточность укладки нитки.
Из равенства C ÷ d = π получаем C = πd: достаточно умножить диаметр на число пи. Если известен радиус, сначала учитываем, что диаметр вдвое больше радиуса: d = 2r. Подставляя это равенство, получаем C = π · 2r, то есть C = 2πr. Обе формулы описывают одну и ту же длину, просто в одной используется диаметр, а в другой — радиус.
Формула C = 2πr показывает, почему длина растёт вместе с радиусом. Число 2π постоянно, поэтому изменение r во столько-то раз умножает и всё произведение во столько же раз. Например, если радиус увеличить втрое, длина окружности тоже станет втрое больше. Это полезно, когда нужно сравнить размеры двух круглых предметов, не вычисляя их длины по отдельности.
Длину окружности измеряют в тех же единицах, что и радиус или диаметр: сантиметрах, метрах и так далее. Если радиус дан в сантиметрах, ответ получится в сантиметрах; для перевода в метры сначала можно перевести радиус или преобразовать уже найденную длину. Число π при школьных вычислениях обычно заменяют приближённым значением 3,14, если условие не требует другого. Не округляй промежуточные вычисления без необходимости, а итог округли до требуемой точности.
| Величина | Обозначение | Формула или свойство |
|---|---|---|
| Радиус | r | Отрезок от центра до окружности |
| Диаметр | d | Хорда через центр |
| Длина окружности через диаметр | C | C = πd |
| Длина окружности через радиус | C | C = 2πr |
| Связь радиуса и диаметра | r, d | d = 2r |
| Единицы измерения | — | Сантиметры, метры и другие единицы длины |
Сначала найди в условии известную величину: радиус или диаметр, а затем выбери соответствующую формулу. Если дана одна величина, а формула требует другую, воспользуйся связью d = 2r. Следи, чтобы все длины были выражены в согласованных единицах.
Из условия известен радиус, значит, удобнее использовать формулу C = 2πr. Подставим в неё радиус и приближённое значение π. Сохраним сантиметры, поскольку радиус измерен в сантиметрах.
Полученное значение показывает длину линии вокруг круга, а не площадь его внутренней части. Единица ответа совпадает с единицей радиуса. Ответ: 31,4 см.
Здесь известна длина, а найти нужно сначала диаметр. Из C = πd следует, что d = C ÷ π, поэтому разделим 31,4 на 3,14. После этого найдём радиус: он вдвое меньше диаметра.
Проверим результат обратной подстановкой: 2 · 3,14 · 5 = 31,4 см, что совпадает с условием. Значит, найденные величины согласуются с длиной окружности. Ответ: диаметр 10 см, радиус 5 см.
За один полный оборот колесо проходит расстояние, равное длине его окружности. Сначала вычислим эту длину по известному диаметру, затем умножим её на число оборотов. Поскольку диаметр дан в сантиметрах, на последнем шаге переведём общий путь в метры.
Мы считаем, что колесо катится без проскальзывания, поэтому каждый оборот даёт путь ровно в одну длину окружности. Умножение на 120 учитывает все полные обороты. Ответ: 263,76 м.
Ошибка: вместо C = 2πr используют C = πr. Так происходит, когда забывают, что формула через радиус учитывает два радиуса, составляющие диаметр. Проверь себя: подставь d = 2r в C = πd — должно получиться C = 2πr. Если в ответе при том же радиусе получилась половина правильной длины, вероятно, потерян множитель 2.
Ошибка: подставляют диаметр в формулу C = 2πr или радиус в формулу C = πd. Причина — путаница в обозначениях: обе величины описывают размер окружности, но не равны друг другу. Перед вычислением подпиши известное число как r или d и проверь, соответствует ли оно буквам в формуле. Если величина не подходит, сначала переведи её: d = 2r или r = d ÷ 2.
Ошибка: смешивают единицы, например подставляют радиус в сантиметрах, а результат записывают в метрах без перевода. Обычно это случается, когда единицу ответа выбирают уже после вычисления и забывают о размере исходных величин. Запиши единицу рядом с данным радиусом и сначала приведи все длины к одной системе. Если вычислял в сантиметрах, ответ тоже будет в сантиметрах, пока ты явно не переведёшь его в метры.
Ошибка: слишком рано округляют π или оставляют в ответе лишние знаки. В первом случае накапливается погрешность, а во втором ответ может не соответствовать точности, которую просит задача. Используй значение π, указанное в условии, и округляй окончательный результат до нужного разряда. Проверь формулировку: если нужно приблизительное значение, обозначь его знаком ≈.
До изучения длины окружности полезно знать, что такое окружность, центр, радиус и диаметр, а также уметь измерять длины и выполнять действия с десятичными дробями. Число π понадобится и при изучении площади круга: там используется тот же радиус, но вычисляется уже размер внутренней области. Формулы длины окружности пригодятся для вычисления длины дуги, параметров колёс и круговых дорожек. В практических задачах важно различать путь за один оборот и путь за несколько оборотов.
Почему число π одинаково для окружностей разных размеров?
У всех окружностей одинаковая форма, хотя размеры могут быть разными. Если длину окружности разделить на её диаметр, размер окружности сократится в этом отношении, и получится одно и то же число π.
Как понять, какую формулу использовать: C = πd или C = 2πr?
Посмотри, какая величина дана в условии: для диаметра d используй C = πd, для радиуса r — C = 2πr. Если дана другая величина, сначала вырази её через нужную.
Можно ли считать π равным 3,14 всегда?
Нет, 3,14 — это приближённое значение числа π. Для обычных школьных вычислений его часто достаточно, но если условие требует большей точности, используй указанное значение или оставь ответ в виде выражения с π.
Что делать, если в условии дан диаметр, а нужна формула через радиус?
Раздели диаметр на 2: радиус равен d ÷ 2. Затем подставь найденный радиус в формулу C = 2πr.
Как найти радиус или диаметр, если известна длина окружности?
Чтобы найти диаметр, раздели длину окружности на π: d = C ÷ π. Радиус вдвое меньше диаметра, поэтому r = d ÷ 2; также можно сразу вычислить r = C ÷ (2π).
§ 55. Длина окружности
