"Геометрия", Смирнова И.М., Смирнов В.А.
Теорема синусов связывает стороны треугольника с синусами противолежащих им углов. Она помогает находить неизвестные стороны, углы и радиус описанной окружности, когда известны некоторые другие элементы треугольника. Главное — не перепутать соответствующие пары: стороне a противолежит угол A, стороне b — угол B, стороне c — угол C. Отношения каждой стороны к синусу своего угла равны, а их общее значение равно 2R.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Теорема синусов — утверждение, что отношения сторон треугольника к синусам противолежащих углов равны: a / sin A = b / sin B = c / sin C. Синус угла — число, которое для основных углов можно найти по таблице или вычислить на калькуляторе. Равенство позволяет использовать известные элементы треугольника, чтобы находить неизвестные.
Противолежащий угол — угол, который расположен напротив выбранной стороны и не имеет с ней общей вершины. В треугольнике ABC стороне a соответствует угол A, стороне b — угол B, стороне c — угол C. Это соответствие нужно, чтобы верно подставлять величины в формулу теоремы.
Описанная окружность — окружность, проходящая через все вершины треугольника. У любого треугольника можно провести такую окружность, поэтому её радиус связывает между собой стороны и углы. Это позволяет применить теорему синусов, даже если задача спрашивает не сторону, а радиус окружности.
Радиус описанной окружности обозначают буквой R. Это расстояние от центра окружности до любой её вершины. В теореме синусов общее значение отношений сторон к синусам равно 2R, поэтому радиус можно найти, если известна сторона и противолежащий угол.
Обозначим треугольник как ABC и назовём его стороны по вершинам, лежащим напротив: a = BC, b = AC, c = AB. Углы при вершинах обозначим A, B и C. Тогда пары для теоремы — a и A, b и B, c и C. Такое обозначение помогает не перепутать сторону с углом, который к ней прилегает.
Чтобы увидеть, почему отношения равны, проведём высоту из вершины C к стороне AB. Высота делит треугольник на два прямоугольных треугольника. В одном из них высота равна a sin B, а в другом — b sin A. Это одна и та же высота, поэтому a sin B = b sin A, а после деления на sin A и sin B получаем a / sin A = b / sin B.
Так же можно провести высоту из другой вершины и получить равенство с третьей стороной. Есть и объяснение через площадь: площадь треугольника можно записать как ½ab sin C, ½bc sin A или ½ca sin B. Приравнивая эти выражения и сокращая общие множители, получаем равенство отношений стороны к синусу противолежащего угла. Высота и формула площади показывают, что равенство возникает из общих геометрических величин, а не является случайным правилом.
Связь с описанной окружностью имеет вид a / sin A = 2R. Она получается из свойства хорды: сторона a — хорда окружности, а её длина равна удвоенному радиусу, умноженному на синус половины центрального угла, который опирается на эту хорду. Центральный угол вдвое больше вписанного угла A, поэтому длина стороны выражается как a = 2R sin A. Значит, общее отношение в теореме синусов равно 2R.
Чтобы найти сторону, составьте равенство отношений для известной и неизвестной пар и выразите нужную величину: b = a sin B / sin A. Неизвестный угол можно определить, приравняв отношения и найдя его синус, а затем выбрав подходящее значение угла с учётом суммы углов треугольника. Для радиуса используйте R = a / (2 sin A). Перед вычислениями проверьте, что каждый угол стоит рядом со своей противолежащей стороной.
| Величина | Обозначение | Связь с теоремой синусов |
|---|---|---|
| Сторона, противолежащая углу A | a | a / sin A |
| Сторона, противолежащая углу B | b | b / sin B |
| Сторона, противолежащая углу C | c | c / sin C |
| Общее отношение стороны к синусу противолежащего угла | 2R | a / sin A = b / sin B = c / sin C |
| Радиус описанной окружности | R | R = a / (2 sin A) |
| Формула для нахождения неизвестной стороны | b | b = a sin B / sin A |
В таблице сначала найдите известную пару «сторона и противолежащий угол», а затем выберите отношение, которое содержит искомую величину. Для радиуса используйте общее отношение 2R, а для стороны составьте пропорцию. Подставляйте в формулы значения синусов углов, а не сами градусные меры.
Задача 1. В треугольнике ABC сторона a = 6 см, угол A = 30°, угол B = 45°. Найти сторону b. Известна пара a и A, а искомая сторона b противолежит углу B, поэтому используем отношение b / sin B = a / sin A.
Ответ: b = 6√2 см, или примерно 8,5 см.
Задача 2. В треугольнике ABC сторона a = 10 см, угол A = 30°. Найти радиус описанной окружности. Поскольку известны сторона и противолежащий ей угол, сразу применим связь a / sin A = 2R.
Ответ: R = 10 см.
Задача 3. В треугольнике ABC сторона a = 6 см, угол A = 30°, угол B = 60°. Найти стороны b и c и радиус R. Сначала найдём угол C, потому что для нахождения стороны c нужна соответствующая пара c и C.
Ответ: b = 6√3 см, c = 12 см, R = 6 см.
Сторону иногда сопоставляют с прилежащим углом, потому что при записи обозначений ориентируются на соседние элементы треугольника. Теорема связывает сторону именно с углом напротив неё. Перед вычислениями подпишите пары a и A, b и B, c и C; затем проверьте, что в каждой дроби они стоят вместе.
При нахождении радиуса могут забыть множитель 2 и записать R = a / sin A. Так происходит, если формулу a / sin A = 2R сразу воспринимают как формулу радиуса. Проверка простая: выразите R делением обеих частей на 2, и получится R = a / (2 sin A).
Ещё одна ошибка — подставить в знаменатель градусную меру, например 30, вместо sin 30°. Угол и его синус — разные величины, поэтому сначала найдите значение синуса: sin 30° = ½. Записывайте скобки и знак синуса, чтобы не спутать его с числом градусов.
Иногда элементы пропорции переставляют местами: например, ставят b рядом с sin A. Это нарушает соответствие сторон и противолежащих углов и даёт неверный результат. Проверьте пропорцию по исходной формуле теоремы и прикиньте, какая сторона должна быть больше: напротив большего угла лежит большая сторона.
Для применения теоремы нужно знать, как обозначают стороны и углы треугольника, и помнить, что сумма его углов равна 180°. Также понадобятся значения синусов основных углов и умение составлять и решать пропорции. Теорема помогает находить неизвестные элементы треугольника и решать задачи об описанной окружности. Её используют и при косвенных измерениях расстояний, когда нужный отрезок нельзя измерить напрямую, но можно определить углы и другие стороны.
Почему сторону нужно сопоставлять именно с противолежащим углом?
Теорема синусов устанавливает связь именно между стороной и углом, лежащим напротив неё. В треугольнике ABC сторона a находится напротив угла A, сторона b — напротив B, сторона c — напротив C.
Откуда в формуле появляется множитель 2?
Сторону треугольника можно выразить через радиус описанной окружности и синус противолежащего угла: a = 2R sin A. Если разделить обе части на sin A, получится a / sin A = 2R.
Можно ли применять теорему синусов в тупоугольном треугольнике?
Да, теорема синусов применима к любому треугольнику, в том числе тупоугольному. Нужно правильно определить пары сторон и противолежащих углов и подставлять значения синусов.
Как найти радиус описанной окружности по одной стороне и углу?
Разделите известную сторону на удвоенный синус противолежащего угла: R = a / (2 sin A). Угол и сторона должны быть парой, например a и A.
Что делать, если неизвестны сторона и противолежащий ей угол?
Сначала посмотрите, можно ли найти неизвестные элементы из других данных: например, третий угол — по сумме углов треугольника. Если нет известной пары «сторона и противолежащий угол», для прямого применения теоремы может не хватить данных.
§ 54. Теорема синусов
