"Геометрия", Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. / Под ред. Садовничего В.А.
Теорема синусов связывает стороны треугольника с синусами противолежащих углов: отношение каждой стороны к синусу её угла одинаково. Общая величина этого отношения равна диаметру описанной окружности, то есть 2R. По теореме можно находить неизвестные стороны, углы и радиус окружности, если известны подходящие элементы треугольника. Главное — не перепутать пары «сторона и угол напротив неё».
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Теорема синусов утверждает: для любого треугольника отношение стороны к синусу противолежащего угла одинаково для всех трёх сторон. Иначе говоря, если разделить сторону на синус угла напротив неё, каждый раз получится одно и то же число. Это позволяет перейти от известных стороны и угла к неизвестным элементам треугольника.
Стороны обычно обозначают строчными буквами, а углы напротив них — соответствующими заглавными: сторона a лежит напротив угла A, сторона b — напротив угла B, сторона c — напротив угла C. Такая договорённость помогает правильно составлять отношения в формуле. Если поставить рядом сторону и угол при её конце, получится уже другая пара, не соответствующая теореме.
Описанная окружность — окружность, проходящая через все три вершины треугольника. Её радиус обозначают буквой R и называют радиусом описанной окружности. Он нужен, чтобы выразить общее значение отношений через размер окружности, а не только сравнивать стороны между собой.
Запись теоремы синусов имеет вид a/sin A = b/sin B = c/sin C = 2R. Синус каждого угла делит сторону, которая лежит напротив этого угла. Величина 2R — диаметр описанной окружности, поэтому теорема связывает стороны и углы треугольника с окружностью, проведённой через его вершины.
Представим треугольник ABC и проведём через его вершины описанную окружность радиуса R. Каждая сторона треугольника соединяет две точки окружности, а такой отрезок называют хордой. Значит, стороны a, b и c можно рассматривать как хорды, и их длины связаны с углами, опирающимися на эти хорды.
Рассмотрим хорду, стягивающую центральный угол величиной 2A. Если соединить концы хорды с центром окружности, получится равнобедренный треугольник: обе его боковые стороны равны R. Перпендикуляр из центра к хорде делит её пополам и делит центральный угол пополам, поэтому в одном из получившихся прямоугольных треугольников половина хорды равна R sin A. Удвоив её, получаем длину хорды 2R sin A.
Вписанный угол — это угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны проходят через точки окружности. Угол A опирается на хорду BC, то есть на сторону a; соответствующий центральный угол, опирающийся на ту же дугу, равен 2A. Поэтому в предыдущем рассуждении половина центрального угла как раз равна A, и длина стороны a выражается формулой a = 2R sin A.
Тот же ход рассуждений применим к каждой стороне. Для хорды AC получаем b = 2R sin B, а для хорды AB — c = 2R sin C. Делим первое равенство на sin A, второе на sin B, третье на sin C: во всех трёх случаях сторона делится на синус угла напротив неё.
После деления в каждой записи остаётся 2R: a/sin A = 2R, b/sin B = 2R и c/sin C = 2R. Поэтому все три отношения равны между собой, а их общее значение — диаметр описанной окружности. Это и даёт полную запись теоремы синусов; она верна и для тупоугольного треугольника, хотя центр его описанной окружности находится вне треугольника.
| Что известно или требуется | Соотношение | Что можно найти |
|---|---|---|
| Сторона и противолежащий угол | a/sin A = 2R | Общее отношение или радиус R |
| Две стороны и один противолежащий угол | a/sin A = b/sin B | Угол напротив второй стороны или её длину |
| Сторона, угол и радиус описанной окружности | a = 2R sin A | Любую из трёх величин |
| Все стороны и соответствующие углы | a/sin A = b/sin B = c/sin C | Проверить соотношение или найти недостающий элемент |
Сначала определите, какие сторона и противолежащий угол известны: они задают общее отношение. Затем выберите равенство, в котором есть искомая величина, и выразите её. Если ищете угол по синусу, помните о возможности двух значений.
В треугольнике ABC известны a = 6 и угол A = 30°. Найдите отношение a/sin A. Здесь уже известны сторона и угол, которые стоят в одной паре теоремы синусов. Значение этого отношения будет общим коэффициентом для всех трёх сторон.
Ответ: 12. Если этот треугольник описан окружностью радиуса R, то 2R = 12, следовательно, R = 6.
В треугольнике ABC известны a = 8, угол A = 40° и угол B = 60°. Найдите сторону b. Углы A и B не равны, поэтому нельзя считать, что соответствующие стороны тоже равны. Сопоставим b именно с углом B, а известную сторону a — с углом A.
Ответ: b ≈ 10,8. Сторона напротив большего угла B действительно получилась длиннее стороны a, что служит быстрой проверкой результата.
В треугольнике ABC известны a = 10, угол A = 45° и сторона b = 8. Найдите возможные значения угла B. Здесь требуется восстановить угол по его синусу, поэтому важно не ограничиваться первым ответом калькулятора. Сначала найдём синус B, а затем проверим оба угла, которые могут ему соответствовать.
Ответ: B ≈ 34,5°. Само значение синуса допускает два угла, но в данном треугольнике подходит только первый, потому что сумма углов треугольника равна 180°.
Часто сопоставляют сторону не с противолежащим углом: например, записывают a/sin B. Это происходит, когда ориентируются на соседство букв в названии вершины, а не на положение стороны. Проверьте пару на рисунке или мысленно: сторона a должна лежать напротив вершины A, значит, в её отношении стоит sin A.
Другая ошибка — приравнять общее отношение к R, забыв множитель 2. В выводе сторона равна 2R sin угла, поэтому после деления на синус остаётся именно 2R. Для самопроверки вспомните, что 2R — диаметр, а не радиус окружности.
При вычислении синуса на калькуляторе можно оставить режим радиан, хотя угол дан в градусах. Тогда, например, sin 30° вычислится неверно. До ввода чисел проверьте обозначение режима DEG или RAD; для школьных углов, записанных со знаком градуса, нужен режим градусов.
Наконец, при нахождении угла по синусу иногда записывают только острый ответ и забывают вариант 180° − B. Причина в том, что обратная функция калькулятора обычно показывает лишь один результат. Найдите дополнительный угол и проверьте сумму углов треугольника: неподходящий вариант исключается, а если подходят оба, оба нужно указать.
Для применения теоремы нужно знать синус угла в прямоугольном треугольнике и значения синусов некоторых углов. Её вывод опирается на свойства вписанных углов и на то, что центральный угол, опирающийся на ту же дугу, вдвое больше вписанного. Поэтому полезно уверенно узнавать такие углы и соответствующие им хорды.
Теорема синусов продолжает изучение треугольников: с её помощью находят неизвестные стороны и углы, а также радиус описанной окружности. Она особенно удобна, когда известна сторона вместе с противолежащим углом. При решении задач её можно сочетать с тем, что сумма углов треугольника равна 180°.
Почему сторону a сопоставляют именно с углом A?
По принятому обозначению сторона a лежит напротив вершины A, а угол A находится в этой вершине. Теорема связывает сторону именно с противолежащим ей углом.
Что обозначает R в теореме синусов?
R — радиус описанной окружности треугольника. Эта окружность проходит через все три вершины.
Почему в формуле стоит 2R, а не R?
Общее отношение стороны к синусу противолежащего угла равно диаметру описанной окружности. Диаметр вдвое больше радиуса, поэтому в формуле стоит 2R.
Можно ли применять теорему синусов в прямоугольном треугольнике?
Да, теорема верна для любого треугольника, в том числе прямоугольного. Нужно сопоставлять стороны с противолежащими углами и учитывать, что синус прямого угла равен 1.
Почему по известному значению синуса иногда можно найти два угла?
Для углов от 0° до 180° синусы углов B и 180° − B одинаковы. Поэтому найденному значению синуса могут соответствовать два угла; нужно проверить, подходят ли оба к условию треугольника.
73. Теорема синусов
