17.3. Теорема синусов

Определения и обозначения

Теорема синусов утверждает: в любом треугольнике отношения сторон к синусам противолежащих углов равны. Иначе говоря, для сторон a, b, c и углов A, B, C выполняется равенство a/sin A = b/sin B = c/sin C. Оно помогает находить неизвестные элементы треугольника, когда известны некоторые стороны и углы.

Противолежащий угол — это угол, расположенный напротив рассматриваемой стороны. Например, сторона a находится напротив угла A, поэтому их рассматривают вместе. Такое соответствие нужно, чтобы подставлять в теорему именно подходящий синус, а не синус соседнего угла.

Для обозначения элементов треугольника используют согласованные пары: сторонам a, b, c соответствуют противолежащие углы A, B, C. Стандартное соответствие можно запомнить по одинаковым буквам: a — A, b — B, c — C. Оно позволяет быстро записать нужное отношение и не перепутать данные задачи.

Радиус описанной окружности — радиус окружности, проходящей через все три вершины треугольника. Его обозначают буквой R, а окружность называют описанной около треугольника. Радиус нужен для расширенной записи теоремы: общее значение отношений сторон к синусам равно 2R.

Как это устроено

Сторона и противолежащий угол связаны потому, что форма треугольника определяет одновременно и длины его сторон, и величины углов. Если один угол больше другого, то противолежащая ему сторона тоже больше. Синус угла помогает выразить эту связь числом, поэтому теорема сравнивает сторону не просто с углом, а с его синусом.

Запись a/sin A = b/sin B = c/sin C получается, если для каждой стороны составить отношение к синусу угла напротив неё. Теорема утверждает, что все три отношения имеют одно и то же значение. Поэтому можно взять любые два из них, например a/sin A = b/sin B, и получить равенство для решения задачи.

В расширенной форме к равным отношениям добавляют 2R: a/sin A = b/sin B = c/sin C = 2R. Это следует из свойства окружности, описанной около треугольника: сторона является хордой, то есть отрезком между двумя точками окружности, а соответствующий ей угол связан с этой хордой. В итоге отношение стороны к синусу противолежащего угла равно диаметру окружности. Если радиус не дан, для обычного нахождения стороны или угла он может вовсе не понадобиться.

Чтобы выбрать нужную пару, сначала отметь известную сторону и угол, который лежит напротив неё. Затем сопоставь её с искомой стороной и её противолежащим углом, если они известны. Например, для нахождения b из данных a, A и B запишут a/sin A = b/sin B, а затем выразят b. Такой порядок помогает не подменить нужный угол прилежащим.

Теорема применима к любому треугольнику, потому что её основание — связь сторон и углов в треугольнике и свойства описанной окружности, а не только определение синуса в прямоугольном треугольнике. Для острых, тупоугольных и прямоугольных треугольников действует одна и та же формула. В прямоугольном треугольнике просто можно использовать дополнительный факт: синус угла 90° равен 1.

Связь сторон, противолежащих углов и радиуса описанной окружности

Сначала найди в таблице столбец нужной стороны и проверь, какой угол ей соответствует. Затем запиши отношение этой стороны к синусу указанного угла. При использовании расширенной формы помни: каждое такое отношение равно 2R.

Разбор задач

1. Найти сторону b

В треугольнике ABC сторона a = 6 см, угол A = 30°, угол B = 45°. Найдите сторону b. Известны сторона и противолежащий ей угол, а также угол напротив искомой стороны — значит, можно сразу сравнить две пары по теореме синусов.

1. Записываем равенство для сторон a и b: a/sin A = b/sin B.
2. Подставляем данные: 6/sin 30° = b/sin 45°. Выражаем b: b = 6 · sin 45°/sin 30°.
3. Подставляем значения синусов: sin 45° = √2/2, sin 30° = 1/2. Получаем b = 6√2 см, то есть примерно 8,5 см.

Ответ: b = 6√2 см, или примерно 8,5 см. Полученная сторона больше a, что подходит: угол B больше угла A.

2. Найти углы B и C

Дано: a = 6 см, A = 30°, b = 6 см. Нужно найти B и C. Здесь можно определить синус угла B по теореме синусов, но стоит помнить, что одинаковое значение синуса может соответствовать двум углам.

1. Записываем a/sin A = b/sin B и подставляем данные: 6/sin 30° = 6/sin B. Так как стороны равны, получаем sin B = sin 30° = 1/2.
2. Угол B может быть равен 30° или 150°. Но при B = 150° сумма углов A и B уже равна 180°, и для третьего угла не останется места. Значит, подходит только B = 30°.
3. Находим оставшийся угол: C = 180° − A − B = 180° − 30° − 30° = 120°.

Ответ: B = 30°, C = 120°. Проверка показывает, что сумма углов равна 180°, а равные стороны a и b лежат напротив равных углов.

3. Найти стороны b и c

Дано: A = 30°, B = 45°, a = 6 см. Сначала найдём сторону b, так как известен угол напротив неё, затем определим C и используем его вместе со стороной a, чтобы найти c. Так мы каждый раз применяем теорему к паре, в которой известны или уже найдены нужные величины.

1. Для стороны b записываем a/sin A = b/sin B. Тогда b = 6 · sin 45°/sin 30° = 6√2 см.
2. Находим третий угол: C = 180° − 30° − 45° = 105°.
3. Для стороны c используем a/sin A = c/sin C. Получаем c = 6 · sin 105°/sin 30° = 12 sin 105° ≈ 11,6 см.

Ответ: b = 6√2 см, примерно 8,5 см; c ≈ 11,6 см. Сторона c больше b и a, потому что угол C = 105° — самый большой из углов треугольника.

Типичные ошибки

Первая ошибка — сопоставлять сторону не с противолежащим, а с прилежащим углом. Так происходит, если забыть соответствие a—A, b—B, c—C или неверно представить, где лежит угол. Перед записью формулы найди угол, который находится прямо напротив выбранной стороны, и проверь пару на чертеже или по обозначениям.

Похожая ошибка — записать a/sin B вместо a/sin A. При этом сама формула может выглядеть аккуратно, но к стороне подставлен синус чужого угла. Проверяй каждое отношение отдельно: буква у стороны должна совпадать с буквой противолежащего угла.

Иногда пропорцию записывают верно, но неверно выражают из неё неизвестную величину. Например, из a/sin A = b/sin B следует b = a · sin B/sin A, а не обратное отношение синусов. Чтобы проверить преобразование, подставь полученное выражение обратно в равенство и убедись, что обе части совпадают.

Ошибки возникают и при вычислении синуса: путают его значение или оставляют калькулятор в радианном режиме, когда углы даны в градусах. Для углов 30° и 45° можно сверить результат с известными значениями sin 30° = 1/2 и sin 45° = √2/2. Перед расчётом проверь режим DEG (градусы) и оцени, не получилась ли сторона отрицательной или явно несоразмерной.

Связь с другими темами

Для работы с теоремой нужны обозначения сторон и углов треугольника, сумма его углов и определение синуса угла. Полезно знать значения синусов некоторых углов, например 30° и 45°. Теорема синусов помогает решать произвольные треугольники и находить неизвестные стороны и углы, а позднее пригодится вместе с теоремой косинусов и формулами площади. Её применяют и в задачах на измерение расстояний, которые нельзя измерить напрямую.

Что запомнить

• В любом треугольнике a/sin A = b/sin B = c/sin C.
• Стороне соответствует синус противолежащего угла.
• Расширенная форма теоремы: a/sin A = b/sin B = c/sin C = 2R.
• Чтобы найти сторону, нужно знать другую сторону и две соответствующие противолежащие угловые величины.
• После нахождения двух углов третий находят по формуле A + B + C = 180°.
• Теорема синусов применима не только к прямоугольным треугольникам.