17.2. Ещё одна формула для вычисления площади треугольника

Определения и обозначения

Площадь треугольника — величина, показывающая, сколько места занимает фигура на плоскости. Её можно вычислить по основанию и высоте: S = ½ah, где a — выбранная сторона, а h — высота к ней. Если высота неизвестна, но известны две стороны и угол между ними, применяют другую формулу. Поэтому площадь можно находить по тем данным, которые есть в задаче.

Угол между двумя сторонами треугольника — угол, образованный этими сторонами; его вершина находится в общей точке сторон. Например, между сторонами AB и AC лежит угол BAC. Такое уточнение нужно, чтобы не взять угол напротив одной из сторон: формула S = ½ab sin C использует именно угол, заключённый между a и b.

Синус угла — тригонометрическая величина, которая в прямоугольном треугольнике равна отношению противолежащего катета к гипотенузе. Если угол обозначен C, то sin C показывает, какую часть гипотенузы составляет катет напротив него. Это отношение помогает выразить высоту через сторону и угол, а значит — заменить неизвестную высоту в формуле площади.

Как это устроено

Начнём с известной формулы площади S = ½ah: основание умножают на проведённую к нему высоту и делят результат на два. Пусть основанием выбрана сторона a, а вторая сторона равна b; угол между ними обозначим C. Высота h может быть не дана в условии, поэтому её нужно выразить через известную сторону b и угол C. Так задача сведётся к величинам, которые уже известны.

Опустим высоту к стороне a из вершины, где сходятся стороны b и a. Высота перпендикулярна основанию, поэтому вместе со стороной b и углом C она образует прямоугольный треугольник. В этом треугольнике сторона b является гипотенузой, а высота h лежит напротив угла C. Если угол C тупой, можно рассмотреть прямоугольный треугольник с дополнительным углом; длина высоты всё равно выражается через синус C.

По определению синуса для прямоугольного треугольника sin C = h / b: противолежащий катет — это высота, а гипотенуза — сторона b. Умножим обе части равенства на b и получим h = b sin C. Это действие объясняет, почему высоту можно найти, даже если её не измеряли и не вычисляли отдельно. Вместо неё используются сторона и синус угла.

Теперь подставим h = b sin C в формулу S = ½ah. Получится S = ½a · b sin C, или S = ½ab sin C. Множитель ½ остаётся, потому что он был в исходной формуле площади, а произведение ab sin C заменяет произведение основания на высоту. Значит, нужно перемножить две стороны и синус угла между ними, а результат разделить на два.

Формулу можно применить к любой паре сторон треугольника, если известен угол между выбранными сторонами. Например, можно выбрать стороны AB и AC и угол BAC либо другие две стороны и заключённый между ними угол. При смене пары меняются обозначения сторон и угла, но способ вычисления остаётся прежним. Перед подстановкой полезно отметить, какие именно стороны и угол образуют эту пару.

Формулы площади треугольника

Сначала найдите в условии известные величины и выберите подходящую строку таблицы. Затем проверьте, что высота соответствует основанию или что угол расположен между выбранными сторонами. В конце запишите площадь в квадратных единицах.

Разбор задач

Две стороны и угол

В треугольнике две стороны равны 8 см и 5 см, а угол между ними равен 30°. Найдите площадь. Здесь сразу известны все данные для формулы S = ½ab sin C, поэтому искать высоту отдельно не нужно. Подставим стороны и значение синуса угла между ними.

1. Запишем формулу: S = ½ab sin C.
2. Подставим данные: S = ½ · 8 · 5 · sin 30°.
3. Используем sin 30° = ½: S = ½ · 8 · 5 · ½ = 10.

Проверим единицы: перемножались сантиметры, поэтому результат выражен в квадратных сантиметрах. Значение синуса меньше единицы, и площадь меньше, чем половина произведения сторон 8 и 5. Ответ: 10 см².

Найти синус угла

Площадь треугольника равна 24 см², две его стороны — 8 см и 6 см. Найдите синус угла между ними. Неизвестен синус, поэтому перепишем формулу, оставив его в одной части равенства. Данные подставим только после преобразования, чтобы не перепутать множители.

1. Запишем формулу площади: S = ½ab sin C.
2. Умножим обе части на 2 и разделим на ab: sin C = 2S / (ab).
3. Подставим значения: sin C = (2 · 24) / (8 · 6) = 48 / 48 = 1.

Полученное значение допустимо для синуса: он не может быть больше единицы. Синус равен 1, когда угол составляет 90°. Ответ: sin C = 1.

Найти площадь и высоту

В треугольнике ABC известны AB = 10 см, AC = 7 см и угол BAC = 60°. Найдите площадь, а затем высоту, опущенную на AB. Угол BAC образован известными сторонами AB и AC, значит, подходит формула площади через две стороны. После этого воспользуемся формулой S = ½ah, где основание AB равно 10 см.

1. Найдём площадь: S = ½ · 10 · 7 · sin 60°.
2. Так как sin 60° = √3 / 2, получим S = 35√3 / 2 см².
3. Из S = ½ · AB · h выразим высоту: h = 2S / AB.
4. Подставим найденную площадь: h = 2 · (35√3 / 2) / 10 = 7√3 / 2 см.

Высота найдена именно к AB, поэтому в последнем вычислении использована длина AB, а не AC. Площадь приблизительно равна 30,3 см², а высота — 6,1 см; эти значения согласуются с данными задачи. Ответ: S = 35√3 / 2 см², высота к AB равна 7√3 / 2 см.

Типичные ошибки

Можно подставить угол, который не заключён между выбранными сторонами. Так происходит, когда ученик видит в условии знакомый угол, но не проверяет, какими сторонами он образован. Перед вычислением обозначьте обе выбранные стороны и найдите их общую вершину: нужный угол должен иметь вершину именно там.

Если забыть множитель ½, результат окажется вдвое больше правильного. Часто внимание сосредоточено на синусе и сторонах, и половина теряется при переписывании формулы. Проверьте запись по исходной формуле площади или разделите произведение сторон на два; при известном основании площадь также должна быть равна половине произведения основания на высоту.

Ещё одна ошибка — подставить число градусов вместо синуса угла. Например, в формуле нужно использовать sin 30° = ½, а не число 30. Чтобы проверить себя, прочитайте формулу: после произведения сторон в ней стоит именно синус угла, то есть сначала нужно найти его значение.

Иногда путают сторону, к которой проведена высота, и сторону, выбранную основанием. Например, при поиске высоты к AB нельзя делить удвоенную площадь на AC. Перед вычислением подпишите основание и соответствующую высоту, а затем проверьте, что в равенстве S = ½ah использована именно эта пара величин.

Связь с другими темами

Чтобы вывести формулу площади через стороны и угол, нужно знать формулу S = ½ah для основания и высоты. Поэтому новая запись не заменяет прежнюю, а позволяет найти ту же площадь, когда высота не дана. Также понадобится умение находить синус острого угла в прямоугольном треугольнике как отношение катета к гипотенузе. Этот приём полезен в задачах на площадь, где известны две стороны и угол между ними.

Что запомнить

• Площадь треугольника по двум сторонам и углу между ними равна половине произведения этих сторон на синус угла.
• В формуле S = ½ab sin C угол C должен находиться между сторонами a и b.
• Высоту можно выразить через сторону и синус угла с помощью прямоугольного треугольника.
• Формулу можно записать для любой пары сторон треугольника.
• Площадь выражается в квадратных единицах.