17.1. Решение треугольников. Теорема косинусов

Определения и обозначения

Решение треугольника — нахождение всех его неизвестных сторон и углов по заданным элементам. Например, если известны некоторые стороны и угол, требуется определить всё остальное. Это понятие показывает цель вычислений: не просто применить формулу, а получить полный набор элементов треугольника. Полученные значения должны соответствовать одному и тому же треугольнику.

Теорема косинусов — связь квадрата одной стороны треугольника с квадратами двух других сторон и косинусом угла между ними. Если сторона c лежит напротив угла C, а стороны a и b образуют этот угол, формула имеет вид c² = a² + b² − 2ab cos C. Она позволяет находить сторону или угол, когда теорема Пифагора неприменима. Косинус угла — число, которое задаёт его связь с длинами сторон в прямоугольном треугольнике.

Угол между сторонами — угол, образованный двумя сторонами, которые входят в формулу теоремы косинусов. Например, для вычисления c используются стороны a и b, поэтому нужен угол C между ними. Это определение помогает выбрать правильный угол из треугольника. Угол, лежащий напротив искомой стороны, и есть угол между двумя сторонами, стоящими в формуле рядом с ней.

Как это устроено

Вывод теоремы косинусов связан с теоремой Пифагора. Представь, что из вершины треугольника опустили высоту на одну из его сторон: исходный треугольник разделился на два прямоугольных. В каждом из них можно применить теорему Пифагора, но длины отрезков на основании зависят от проекции наклонной стороны. Проекция выражается через косинус угла, потому что в прямоугольном треугольнике косинус равен отношению прилежащего катета к гипотенузе.

Пусть стороны a и b образуют угол C, а напротив него лежит сторона c. Тогда формула записывается так: c² = a² + b² − 2ab cos C. Сначала складываются квадраты сторон, образующих угол, затем вычитается удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними. Именно c стоит слева, потому что это сторона напротив C. Для другой стороны формулу записывают так же, но меняют названия сторон и берут угол напротив неё.

Для нахождения третьей стороны недостаточно взять любой угол треугольника: нужен угол именно между двумя известными сторонами. Это следует из построения формулы: проекции сторон и возникающие прямоугольные треугольники определяются этим углом. Если подставить другой угол, он может быть между известной и неизвестной сторонами, поэтому данные не будут соответствовать формуле. Перед подстановкой полезно отметить, какие две стороны образуют выбранный угол.

Если известны три стороны, можно найти угол, например C. Из равенства c² = a² + b² − 2ab cos C переносим слагаемые и получаем cos C = (a² + b² − c²) / 2ab. После этого по значению косинуса определяют сам угол; одного вычисления косинуса недостаточно, если требуется ответ в градусах. Такой способ подходит для любого из трёх углов, если правильно сопоставить его с противоположной стороной.

Теорема косинусов помогает решать треугольник в несколько шагов. Если даны две стороны и угол между ними, сначала находят третью сторону по формуле. Если известны три стороны, сначала находят подходящий угол, выразив его косинус. Затем недостающие углы можно определить с помощью теоремы косинусов или суммы углов треугольника, равной 180°.

Применение теоремы косинусов

Сначала выбери в таблице строку, соответствующую известным данным. Затем проверь, что угол находится между нужными сторонами или что искомый угол стоит напротив выбранной стороны. После вычисления можно найти другие элементы треугольника по теореме косинусов и сумме углов.

Разбор задач

Задача 1. В треугольнике две стороны равны 5 см и 7 см, а угол между ними равен 60°. Найти третью сторону. Обозначим её c: она лежит напротив угла 60°. Поскольку известны обе стороны, образующие этот угол, применяем теорему косинусов. Так мы используем именно те данные, которые нужны для вычисления c.

1. Записываем формулу: c² = 5² + 7² − 2 · 5 · 7 · cos 60°.
2. Подставляем cos 60° = ½: c² = 25 + 49 − 70 · ½ = 39.
3. Так как длина стороны положительна, берём положительный корень: c = √39 см.

Ответ: √39 см, или примерно 6,24 см. Значение меньше 7 см, что согласуется с тем, что угол между сторонами острый. Проверка: при подстановке c² = 39 равенство теоремы косинусов выполняется.

Задача 2. Стороны треугольника равны 5 см, 6 см и 7 см. Найти угол напротив стороны 7 см. Назовём этот угол C, а стороны, образующие его, — 5 см и 6 см. Искомый угол связан именно с противоположной ему стороной 7 см. Поэтому выразим cos C, а затем определим сам угол по полученному значению.

1. Записываем формулу: 7² = 5² + 6² − 2 · 5 · 6 · cos C.
2. Выражаем косинус: cos C = (5² + 6² − 7²) / (2 · 5 · 6) = (25 + 36 − 49) / 60 = 0,2.
3. Находим угол, косинус которого равен 0,2: C ≈ 78,5°.

Ответ: угол напротив стороны 7 см примерно равен 78,5°. Косинус положительный, значит угол острый, что соответствует найденному значению. Приближённый ответ связан с округлением угла до десятых долей градуса.

Задача 3. Две стороны треугольника равны 8 см и 5 см, угол между ними равен 60°. Найти третью сторону и остальные углы. Сначала найдём сторону напротив 60°, а затем применим теорему косинусов ещё раз для одного из оставшихся углов. Последний угол определим по сумме углов треугольника. Такой порядок удобен, потому что после первого шага будут известны все три стороны.

1. По теореме косинусов c² = 8² + 5² − 2 · 8 · 5 · cos 60° = 64 + 25 − 40 = 49, поэтому c = 7 см.
2. Пусть A лежит напротив стороны 8 см. Тогда cos A = (5² + 7² − 8²) / (2 · 5 · 7) = 10 / 70 = 1/7, откуда A ≈ 81,8°.
3. Вычитаем известные углы из 180°: B = 180° − 60° − 81,8° ≈ 38,2°.

Ответ: третья сторона равна 7 см, остальные углы примерно равны 81,8° и 38,2°. Проверка суммы: 60° + 81,8° + 38,2° = 180°. Небольшая погрешность возможна из-за округления угла A.

Типичные ошибки

Первая ошибка — подставлять угол, который не лежит между известными сторонами. Так делают, если выбирают угол только по его величине или расположению на чертеже, не проверяя стороны. Формула для третьей стороны использует именно угол между двумя известными сторонами. Проверь себя: стороны, стоящие в произведении 2ab, должны образовывать угол, косинус которого указан в этой формуле.

Вторая ошибка — ставить перед произведением знак плюс вместо минуса. При этом получается другая длина, потому что знак в теореме косинусов важен. Не стоит пытаться угадать знак по рисунку: запомни формулу c² = a² + b² − 2ab cos C. Для проверки подставь данные обратно и убедись, что равенство выполняется.

Третья ошибка — неверно сопоставлять сторону и угол. Например, можно использовать угол C, но поставить напротив него не сторону c, а другую сторону. Это приводит к формуле, которая не соответствует выбранной вершине. Перед вычислением запиши рядом пары «сторона — противоположный угол» и проверь, что в левой части стоит сторона напротив угла из косинуса.

Четвёртая ошибка — найти значение косинуса и на этом остановиться, хотя требуется угол, или выбрать угол с неподходящим значением. Косинус — это число, а не название угла, поэтому после его вычисления нужно определить угол. Проверь, соответствует ли угол полученному косинусу и данным задачи; если косинус положительный, угол треугольника острый, а если отрицательный — тупой. Не забывай также о сумме углов треугольника 180°.

Связь с другими темами

Для вывода теоремы косинусов нужна теорема Пифагора: высота делит треугольник на прямоугольные части. Понадобится и сумма углов треугольника, чтобы находить последний угол после вычислений. Понятие косинуса связывает угол с проекцией стороны, поэтому важно уметь пользоваться значениями косинусов известных углов.

Теорема косинусов применяется при решении треугольников, когда известны три стороны или две стороны и угол между ними. Она обобщает теорему Пифагора, а затем помогает перейти к изучению теоремы синусов. Эти инструменты используют вместе в более сложных задачах о треугольниках.

Что запомнить

• Квадрат стороны равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.
• В теореме сторона и угол в формуле расположены напротив друг друга.
• Для нахождения третьей стороны нужны две другие стороны и угол между ними.
• Если известны три стороны, по теореме косинусов можно найти угол.
• После нахождения части элементов треугольника остальные можно определить с помощью суммы его углов.
• Теорема Пифагора является частным случаем теоремы косинусов для прямоугольного треугольника.