"Геометрия (изд. "БИНОМ. Лаборатория знаний")", Глейзер Г.Д.
Теорема синусов связывает стороны треугольника с синусами противолежащих углов: a/sin A = b/sin B = c/sin C = 2R. Она помогает находить неизвестные стороны и углы, а также радиус описанной окружности, если известны другие элементы треугольника. Чтобы составить верное равенство, нужно точно сопоставить каждую сторону с углом напротив неё. При поиске угла по синусу следует проверить, не подходит ли второй вариант угла.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Стороны треугольника обозначают строчными буквами a, b, c: сторона a лежит напротив вершины A, b — напротив B, c — напротив C. Это правило позволяет сразу понять, какие элементы нужно соединить в формуле. Если перепутать обозначения, пропорция даст неверный результат.
Углы треугольника обозначают заглавными буквами A, B, C. Каждый угол рассматривают вместе с противолежащей ему стороной: A — с a, B — с b, C — с c. Такое сопоставление нужно сохранять при подстановке чисел в теорему.
Теорема синусов утверждает, что отношения каждой стороны треугольника к синусу противолежащего угла равны: a/sin A = b/sin B = c/sin C. Синус — тригонометрическая величина, которую для заданного угла можно найти по таблице или калькулятору. Равенство позволяет перейти от известной пары «сторона — угол» к неизвестной.
Радиус описанной окружности R — радиус окружности, проходящей через все три вершины треугольника. Центр этой окружности равноудалён от вершин, поэтому расстояния от него до каждой вершины равны R. В теореме синусов отношения стороны к синусу противолежащего угла равны диаметру окружности, то есть 2R.
Чтобы понять, откуда берётся теорема, сначала опишем окружность около треугольника. Её центр O равноудалён от вершин, поэтому отрезки OA и OB — радиусы, а треугольник AOB равнобедренный. Это построение связывает стороны исходного треугольника с одной и той же окружностью.
Проведём через вершину B диаметр описанной окружности и обозначим его второй конец D. Тогда треугольник ABD прямоугольный, потому что вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен 90°. Угол ADB равен углу A, поскольку оба опираются на хорду AB. Из определения синуса в прямоугольном треугольнике получаем sin A = AB/BD, поэтому AB = BD · sin A.
Отрезок AB — сторона c, а BD — диаметр окружности, равный 2R. Значит, c = 2R · sin C, если провести диаметр через вершину A и рассмотреть угол, противолежащий c. Точно так же для других сторон можно построить прямоугольные треугольники и выразить стороны через синусы противолежащих углов. Во всех случаях появляется один и тот же диаметр, поэтому и отношения сторон к соответствующим синусам равны.
Итоговая запись теоремы: a/sin A = b/sin B = c/sin C = 2R. В каждой дроби сторона стоит рядом с синусом угла напротив неё, а последний член равен диаметру описанной окружности. Если требуется найти одну сторону, достаточно приравнять её отношение к отношению известной стороны. Для радиуса используют равенство стороны с её синусом и величиной 2R.
Теорема полезна, когда известна хотя бы одна сторона и её противолежащий угол, а также есть данные для составления пропорции. Например, известные сторона a и угол A позволяют найти сторону b, если известен угол B. Чтобы найти радиус описанной окружности, достаточно пары a и A. При поиске неизвестного угла по синусу иногда возникают два кандидата, поэтому затем проверяют сумму углов треугольника.
| Сторона | Противолежащий угол | Отношение |
|---|---|---|
| a | A | a/sin A |
| b | B | b/sin B |
| c | C | c/sin C |
| Общая величина | — | 2R |
Пользуйтесь таблицей, чтобы перед вычислениями проверить соответствие стороны и угла напротив неё. Для пропорции берите две строки с известными и искомыми величинами. Все три отношения равны общей величине 2R, поэтому её можно использовать, если требуется найти радиус описанной окружности.
Известна сторона a и угол A напротив неё, а требуется сторона b, лежащая напротив угла B. Значит, нужно составить пропорцию именно для этих двух пар. Углы даны в градусах, поэтому используем sin 30° = ½ и sin 60° = √3/2.
Записываем теорему для известных и искомых элементов: a/sin A = b/sin B. Такая запись помогает не поменять углы местами и показывает, какое отношение нужно выразить.
Подставляем данные: 6/(½) = b/(√3/2). Умножаем обе части на sin 60° или сразу используем формулу b = a · sin B / sin A. Получаем b = 6 · (√3/2) / (½) = 6√3.
Проверяем смысл результата: угол B больше угла A, поэтому противолежащая сторона b должна быть длиннее a. Значение 6√3 примерно равно 10,4, то есть условие этому соответствует. Сторону можно оставить в точном виде с корнем.
Ответ: b = 6√3.
Сторона a и противолежащий ей угол A дают исходную пару для теоремы синусов. Сначала найдём b по углу B, а затем вычислим R из равенства a/sin A = 2R. Подстановка углов в градусах позволяет использовать sin 45° = √2/2 и sin 30° = ½.
Приравниваем отношения для сторон a и b: a/sin A = b/sin B. Выражаем неизвестную сторону: b = a · sin B / sin A. Подставляем значения и получаем b = 8 · (½) / (√2/2) = 4√2.
Для радиуса используем отношение известной стороны и противолежащего угла: a/sin A = 2R. Тогда R = a/(2 sin A) = 8/(2 · √2/2) = 4√2. Здесь деление на 2 обязательно, поскольку в теореме стоит диаметр окружности, а не её радиус.
Проверяем найденную сторону: угол B меньше угла A, значит, сторона b должна быть короче a. Численно 4√2 примерно равно 5,7, что действительно меньше 8. Полученное значение радиуса положительно и согласуется с длиной диаметра 8√2.
Ответ: b = 4√2, R = 4√2.
Известны две стороны и угол, противолежащий одной из них. По теореме синусов можно найти синус B, но одного значения синуса иногда соответствуют два угла от 0° до 180°. Поэтому сначала вычислим оба возможных угла, а затем проверим, может ли каждый из них входить в треугольник вместе с A = 40°.
Записываем отношение a/sin A = b/sin B и выражаем синус неизвестного угла: sin B = b · sin A / a. Подставляем данные: sin B = 7 · sin 40° / 10 ≈ 0,450. Это значение меньше 1, значит, угол с таким синусом существует.
Находим первый вариант: B₁ ≈ arcsin(0,450) ≈ 26,7°. Второй угол с тем же синусом равен 180° − 26,7° ≈ 153,3°. Проверка нужна потому, что обратная функция arcsin обычно возвращает только один из двух возможных углов.
Проверяем сумму углов. Для B₁ остаётся C ≈ 180° − 40° − 26,7° = 113,3°, поэтому первый треугольник возможен. Для B₂ сумма A + B₂ уже больше 180°, значит, третий угол оказался бы отрицательным и такой треугольник построить нельзя.
Ответ: B ≈ 26,7°; условию удовлетворяет один треугольник.
Иногда сторону сопоставляют с соседним углом, а не с противолежащим. Это происходит, если опираться только на расположение букв и не проверять чертёж или обозначения. Перед вычислениями выпишите пары a — A, b — B, c — C; если в дроби стоят элементы из разных пар, пропорция составлена неверно.
В равенстве a/sin A = 2R можно забыть множитель 2 и принять a/sin A за радиус. Путаница возникает потому, что в формуле рядом стоят сторона и радиус описанной окружности, но само отношение равно диаметру. Проверьте, что радиус вычисляется как R = a/(2 sin A), а не как a/sin A.
При нахождении угла по синусу иногда записывают только ответ калькулятора. Однако одинаковый синус имеют углы α и 180° − α, и оба могут лежать между 0° и 180°. Найдите второй вариант и проверьте сумму углов треугольника: допустимый набор должен давать ровно 180°.
Ещё одна ошибка — подставить градусный угол в калькулятор, установленный на радианы, или наоборот. Тогда калькулятор вычислит синус другого числа, и дальнейшие действия не исправят ошибку. Сверьте обозначение режима и сделайте быструю проверку: например, sin 30° должен равняться 0,5.
Для применения теоремы нужны обозначения сторон и углов треугольника, правило о сумме углов и понимание синуса. Также используется описанная окружность и свойство угла, опирающегося на диаметр: он прямой. Эти знания объясняют, почему в формуле появляется общий диаметр 2R.
Теорема синусов помогает решать треугольники, находить стороны и углы, а также радиус описанной окружности. Она особенно удобна, когда известна пара «сторона — противолежащий угол» и можно составить пропорцию. В других задачах её применяют вместе с теоремой косинусов, выбирая формулу по имеющимся данным.
Почему в теореме синусов сторону делят именно на синус противолежащего угла?
При доказательстве сторона треугольника выражается через диаметр описанной окружности и синус угла напротив неё. Поэтому для каждой пары «сторона — противолежащий угол» отношение получается одинаковым. Для соседнего угла такое соотношение не выводится.
Что означает 2R в записи теоремы синусов?
R — радиус окружности, проходящей через все три вершины треугольника. Величина 2R — её диаметр. Отношение любой стороны к синусу противолежащего угла равно этому диаметру.
Как выбрать нужную пропорцию, если известны разные элементы треугольника?
Сначала выпишите известную пару: сторону и угол напротив неё. Затем выберите пару с искомой величиной и приравняйте соответствующие отношения, например a/sin A = b/sin B. Если нужно найти R, используйте отношение известной стороны к синусу противолежащего угла, равное 2R.
Почему по известному синусу угла иногда получаются два возможных угла?
Углы α и 180° − α имеют одинаковый синус. Поэтому, если найти угол по значению синуса, нужно рассмотреть оба варианта. Подходит только тот, при котором сумма углов треугольника равна 180° и все углы положительны.
Можно ли применять теорему синусов в прямоугольном треугольнике?
Да, теорема синусов верна для любого треугольника, в том числе прямоугольного. В нём гипотенуза лежит напротив угла 90°, а sin 90° = 1. Поэтому отношение гипотенузы к синусу прямого угла равно самой гипотенузе и равно диаметру описанной окружности.
§ 23. Теорема синусов
