"Геометрия (изд. "БИНОМ. Лаборатория знаний")", Глейзер Г.Д.
Площадь треугольника показывает, какую часть плоскости занимает фигура, и обозначается буквой S. Её можно вычислять разными способами: по основанию и высоте, по двум сторонам и углу между ними, по трём сторонам или с использованием радиуса описанной окружности. Выбор формулы зависит от известных данных. Главное — правильно сопоставить основание с высотой, взять включённый угол и не перепутать периметр с полупериметром.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Площадь треугольника — величина, показывающая, сколько единичных квадратов занимает треугольник; её обозначают буквой S. Единичный квадрат имеет сторону, принятую за единицу длины. Площадь нужна, чтобы сравнивать размеры фигур и вычислять неизвестные элементы.
Полупериметр треугольника — половина его периметра: p = (a + b + c) / 2. Здесь a, b и c — длины сторон, а p — полупериметр. Это промежуточная величина, которая особенно нужна при применении формулы Герона.
Формула Герона позволяет найти площадь по длинам всех трёх сторон: S = √(p(p − a)(p − b)(p − c)). Она удобна, когда высота и углы неизвестны. Перед вычислением нужно найти полупериметр и проверить, что данные стороны действительно могут образовать треугольник.
Радиус описанной окружности R — радиус окружности, проходящей через все три вершины треугольника. Если известны стороны a, b, c и этот радиус, площадь вычисляют так: S = abc / (4R). Формула связывает размеры треугольника с окружностью, описанной около него.
Чтобы понять формулу S = ah / 2, представим треугольник как половину параллелограмма с тем же основанием a и высотой h. Диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника. Поэтому площадь одного треугольника в два раза меньше площади параллелограмма ah, то есть S = ah / 2.
Пусть стороны a и b образуют угол γ. Если провести высоту к стороне a, получится прямоугольный треугольник, в котором высота равна b sin γ. Подставляя это выражение в формулу S = ah / 2, получаем S = ab sin γ / 2. Поэтому здесь требуется именно угол между известными сторонами.
Формула Герона заменяет неизвестную высоту данными о трёх сторонах. Полупериметр p и разности p − a, p − b, p − c объединяются в одно произведение под знаком корня. Так площадь находится без построения высот и вычисления углов.
Для вывода формулы с радиусом R используют связь стороны треугольника с описанной окружностью: сторона, лежащая напротив угла α, равна 2R sin α. Если в формуле площади через две стороны и синус угла заменить синус соответствующим отношением стороны к 2R, получается S = abc / (4R). Радиус здесь должен относиться именно к окружности, проходящей через вершины треугольника.
Формулу выбирают не по внешнему виду задачи, а по набору известных величин. Основание вместе с соответствующей высотой приводит к S = ah / 2, две стороны и угол между ними — к формуле с синусом, три стороны — к формуле Герона. Если дан радиус описанной окружности и все стороны, удобна формула S = abc / (4R).
Найдите в условии полный набор величин, который требуется формуле. После этого проверьте, что высота соответствует основанию, угол заключён между выбранными сторонами, а стороны могут образовать треугольник.
| Известные данные | Формула площади | Что важно проверить |
|---|---|---|
| Основание a и высота h к нему | S = ah / 2 | Высота должна быть проведена к выбранному основанию |
| Две стороны a и b и угол γ между ними | S = ab sin γ / 2 | Нужен именно угол между известными сторонами |
| Три стороны a, b, c | S = √(p(p − a)(p − b)(p − c)), где p = (a + b + c) / 2 | Длины должны образовывать треугольник |
| Три стороны a, b, c и радиус описанной окружности R | S = abc / (4R) | R относится к окружности, проходящей через вершины |
Если подходящих формул несколько, выбирайте ту, где меньше лишних вычислений. Результат полезно оценить: площадь должна быть положительной и иметь квадратные единицы измерения.
Условие: основание треугольника равно 12 см, а высота, проведённая к нему, — 7 см. Найдём площадь. В условии уже указаны основание и соответствующая высота.
Ответ: 42 см².
Условие: две стороны равны 8 см и 10 см, угол между ними равен 30°. Используем формулу с синусом, потому что известны две стороны и включённый угол. Значение sin 30° равно 1 / 2.
Ответ: 20 см².
Условие: стороны треугольника равны 13 см, 14 см и 15 см. Высота и углы не даны, поэтому применяем формулу Герона. Сначала найдём полупериметр.
Ответ: 84 см².
Подставляют в S = ah / 2 высоту, опущенную не к выбранному основанию. Так происходит, когда в чертеже несколько высот или стороны обозначены невнимательно. Проверьте: высота должна быть перпендикулярна именно этому основанию или его продолжению.
В формуле с синусом берут угол, который не заключён между известными сторонами. Ошибка появляется из-за выбора любого угла треугольника вместо включённого. Мысленно найдите две данные стороны: нужный угол должен иметь их лучи своими сторонами.
В формуле Герона принимают p за периметр, хотя p — полупериметр. Из-за этого неверными становятся все четыре множителя под корнем. Сначала сложите стороны, затем обязательно разделите сумму на 2 и только после этого продолжайте вычисления.
Забывают разделить произведение на 2 в формулах S = ah / 2 и S = ab sin γ / 2. Такая ошибка возникает, если вспомнить только произведение величин. Перед ответом проверьте саму формулу и убедитесь, что площадь треугольника не получилась вдвое больше площади соответствующего параллелограмма.
Для понимания основной формулы нужны площадь параллелограмма, понятие высоты треугольника и свойства синуса угла. Формула Герона опирается на умение находить периметр и полупериметр, а также проверять неравенство треугольника: сумма любых двух сторон должна быть больше третьей. Эти способы вычисления площади пригодятся в задачах на подобие треугольников, окружности и нахождение длин элементов треугольника.
Можно ли найти площадь треугольника, если известны только три его стороны?
Да, для этого используют формулу Герона. Сначала находят полупериметр p = (a + b + c) / 2, затем вычисляют S = √(p(p − a)(p − b)(p − c)).
Почему в формуле с синусом нужен угол именно между двумя известными сторонами?
Высота выражается через одну из известных сторон и синус угла, который эта сторона образует с основанием. Поэтому нужен угол, заключённый между сторонами a и b; другой угол даст неверную высоту.
Чем полупериметр отличается от периметра?
Периметр — сумма трёх сторон: a + b + c. Полупериметр равен половине этой суммы: p = (a + b + c) / 2; именно он используется в формуле Герона.
Какую формулу площади выбрать, если известны разные элементы треугольника?
Посмотрите, какие данные образуют готовый набор для формулы. Основание и соответствующая высота дают S = ah / 2, две стороны и угол между ними — S = ab sin γ / 2, три стороны — формулу Герона.
Можно ли использовать высоту, проведённую к продолжению стороны?
Да, особенно у тупоугольного треугольника высота может падать на продолжение стороны. Для формулы S = ah / 2 нужно брать длину перпендикуляра и ту сторону, к которой он проведён или продолжением которой она является.
§ 22. Формулы площади треугольника
