"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия (базовый и углубленный уровни)", Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Площадь треугольника можно найти по основанию и высоте, по двум сторонам и углу между ними или по трём сторонам. Эти формулы помогают выбирать удобный способ решения в зависимости от данных задачи. Для формулы с углом используют синус именно угла между сторонами, а в формуле Герона — полупериметр. Результат всегда выражают в квадратных единицах.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Площадь треугольника — величина, которую можно найти по основанию и высоте, проведённой к нему. Если основание равно a, а соответствующая высота — h, то S = ½ah. Основанием можно выбрать любую сторону, но высоту нужно брать именно к ней. Эта формула удобна, когда обе эти величины известны или их можно найти.
Формула площади через две стороны и угол между ними записывается так: S = ½ab sin γ. Здесь a и b — стороны треугольника, а γ — угол, который они образуют. Формула позволяет обойтись без высоты, если известны длины двух сторон и угол между ними. Буквой S, как и в остальных формулах, обозначена площадь.
Формула Герона позволяет найти площадь треугольника по длинам всех трёх сторон: S = √(p(p − a)(p − b)(p − c)). Здесь a, b, c — стороны, а p — полупериметр. Этот способ подходит, когда высота и углы не заданы, но известны три стороны. Под корнем стоит произведение четырёх величин, полученных из полупериметра и сторон.
Полупериметр — половина периметра треугольника: p = (a + b + c) / 2. Сначала складывают длины трёх сторон, затем делят сумму на два. В формуле Герона полупериметр нужен, чтобы составить множители p, p − a, p − b и p − c. Подставлять вместо p полный периметр нельзя.
Формула S = ½ah связана с площадью параллелограмма. Если взять два одинаковых треугольника и соединить их, получится параллелограмм, у которого основание равно a, а высота равна h. Площадь параллелограмма — ah, поэтому площадь одного из двух равных треугольников вдвое меньше. Отсюда и появляется множитель ½.
Формулу с синусом можно получить из формулы через основание и высоту. Пусть стороны a и b заключают угол γ, а высота проведена к стороне a. Если угол острый, высота образует прямоугольный треугольник, в котором sin γ = h / b; значит, h = b sin γ. Подстановка этой высоты в S = ½ah даёт S = ½a · b sin γ = ½ab sin γ.
В формуле через две стороны нужен именно угол между ними, потому что его синус помогает выразить высоту из второй стороны. Если угол тупой, высота к выбранной стороне может оказаться за её продолжением, но её длина всё равно равна b sin γ. Синус тупого угла положителен, поэтому формула даёт положительную площадь и без замены угла на другой. Если взять угол, не заключённый между выбранными сторонами, высота уже не будет выражаться этим способом.
Формула Герона выручает, когда даны только три стороны и из них нельзя сразу получить высоту. Для её применения сначала находят p = (a + b + c) / 2, затем вычисляют четыре множителя p, p − a, p − b и p − c. Их произведение извлекают из-под квадратного корня. Если длины сторон образуют треугольник, все эти множители положительны, поэтому формула позволяет получить площадь по одним только сторонам.
Выбор формулы зависит от того, что дано в задаче, и от того, какие величины легко найти дополнительно. Когда есть основание и высота к нему, достаточно первого способа; для двух сторон и угла между ними — второго; при наличии трёх сторон — формулы Герона. Не нужно искать высоту, если можно сразу использовать известные стороны и угол. Перед подстановкой проверь, что данные действительно соответствуют выбранной формуле.
| Что известно | Формула площади | Обозначения и условия |
|---|---|---|
| Основание a и высота h к нему | S = ½ah | Высота перпендикулярна выбранному основанию |
| Две стороны a и b и угол γ между ними | S = ½ab sin γ | γ — угол между сторонами a и b |
| Три стороны a, b, c | S = √(p(p − a)(p − b)(p − c)) | p = (a + b + c) / 2; стороны должны образовывать треугольник |
Сначала найдите в условии нужные величины, затем выберите соответствующую строку таблицы. В первой строке высота должна быть проведена именно к указанному основанию, а во второй угол должен лежать между выбранными сторонами. Для формулы Герона сначала вычислите полупериметр.
Основание треугольника равно 12 см, высота к нему — 5 см. Найдите площадь. Здесь известны основание и высота к нему, поэтому не требуется искать ни стороны, ни углы. Используем формулу S = ½ah и подставляем числа с единицей длины в сантиметрах.
Ответ: 30 см². При проверке обратите внимание, что сантиметры перемножаются, поэтому единица площади — квадратный сантиметр. Основание и высота в условии согласованы: дана высота именно к стороне 12 см.
Две стороны треугольника равны 8 см и 10 см, угол между ними — 30°. Найдите площадь. Даны именно те три величины, которые нужны для формулы с синусом. Перед вычислением важно убедиться, что угол 30° образован сторонами 8 см и 10 см, а не является другим углом треугольника.
Ответ: 20 см². Значение синуса можно проверить по таблице значений или по известным значениям для стандартных углов. Итог выражен в квадратных сантиметрах, а не в сантиметрах, поскольку перемножаются две длины.
Стороны треугольника равны 13 см, 14 см и 15 см. Найдите площадь. Высота и углы не заданы, зато известны все три стороны, поэтому используем формулу Герона. Сначала найдём полупериметр, а затем аккуратно подставим его вместе с длинами сторон.
Ответ: 84 см². Здесь число 21 — полупериметр, а не полный периметр 42 см. Полученная площадь записана в квадратных сантиметрах, потому что под корнем находятся произведения длин.
В формулу S = ½ab sin γ иногда подставляют угол, который не лежит между сторонами a и b. Это случается, когда обозначения сторон и углов читают отдельно друг от друга и не сверяют их расположение. Проверьте, что лучи выбранного угла совпадают с направлениями двух сторон, стоящих в формуле. Если соответствие неясно, отметьте стороны и угол на схеме, которую можно построить по условию.
Другая ошибка — принять боковую сторону за высоту или взять высоту к другой стороне. Обычно так происходит, если высотой считают любой отрезок из вершины или не уточняют, к какому основанию он проведён. Высота всегда перпендикулярна основанию, а формула требует использовать согласованную пару a и h. Для самопроверки убедитесь, что у отрезка, названного высотой, угол с выбранным основанием равен 90°.
В формуле Герона иногда подставляют периметр вместо полупериметра. Причина — в спешке: сначала складывают стороны и забывают разделить сумму на два. Запишите отдельным действием p = (a + b + c) / 2, а затем проверьте, что найденное значение вдвое меньше периметра. Только после этого вычисляйте множители в формуле.
При вычислении площади можно потерять множитель ½ или неверно найти синус угла. Тогда результат окажется завышенным либо просто не будет соответствовать подстановке. Записывайте выражение целиком до вычислений и отдельно подставляйте известное значение синуса. В конце проверьте арифметику и укажите квадратные, а не линейные единицы измерения.
Для понимания формулы через основание и высоту нужны понятие высоты треугольника и формула площади параллелограмма: через неё объясняется множитель ½. Формула через две стороны опирается на тригонометрию, поэтому необходимо уметь находить синусы углов, в частности 30°, 45°, 60° и 90°. Эти способы расчёта используются в задачах на площади, стороны и углы треугольников. Они также пригодятся при дальнейшем изучении тригонометрии и геометрии.
Как выбрать формулу площади, если в задаче даны разные элементы треугольника?
Сначала посмотрите, какие величины известны. Основание и соответствующая ему высота подходят для формулы S = ½ah; две стороны и угол между ними — для S = ½ab sin γ. Если известны три стороны, применяйте формулу Герона.
Почему площадь равна половине произведения основания на высоту?
Треугольник можно дополнить до параллелограмма с теми же основанием и высотой. Площадь такого параллелограмма равна произведению основания на высоту, а треугольник занимает ровно его половину.
Какой угол нужно подставлять в формулу с синусом?
Нужен угол, заключённый между теми двумя сторонами, которые подставляются в формулу. Если он тупой, берут синус самого тупого угла: его значение положительно.
Что обозначает p в формуле Герона?
Буквой p обозначают полупериметр — половину суммы длин всех сторон: p = (a + b + c) / 2. В формуле Герона вместо периметра используют именно полупериметр.
Можно ли найти площадь треугольника, если известны только три его стороны?
Да, для этого используют формулу Герона. Сначала находят полупериметр, затем подставляют его и длины сторон в выражение S = √(p(p − a)(p − b)(p − c)).
2.3. Формулы площади треугольника
